a - Desenvolva a expressão do Laplaciano em coordenadas esféricas para o campo dado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa desenvolver a expressão do Laplaciano em coordenadas esféricas para um campo específico. O Laplaciano é uma operação matemática que nos ajuda a entender como uma função se comporta em diferentes pontos do espaço. Para fazer isso em coordenadas esféricas, vamos precisar entender as relações entre as coordenadas cartesianas ( , , ) e as esféricas ( , , ).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é definido por três valores: a distância radial do ponto à origem, o ângulo polar (que é o ângulo com o eixo ) e o ângulo azimutal (que é o ângulo no plano a partir do eixo ).

Passo 3

O Laplaciano em coordenadas cartesianas é dado por:
Mas como queremos expressá-lo em coordenadas esféricas, precisamos reescrever essas derivadas em termos de , e .

Passo 4

Usamos as seguintes relações de derivada para fazer a mudança de coordenadas:
E similares para e . Isso pode ficar bem complicado, então vamos direto ao resultado final já conhecido para o Laplaciano em coordenadas esféricas.

Passo 5

O Laplaciano em coordenadas esféricas fica:
Isso basicamente significa que para qualquer função , a aplicação do Laplaciano envolve derivadas em relação a , e , cada uma ponderada por fatores que dependem da geometria esférica.

Resposta

A expressão do Laplaciano em coordenadas esféricas para um campo é:

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d-)
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(A) Ache a velocidade de propagação da onda.
(B) Encontre os valores da frequência e comprimento da onda.
© Escreva a função de onda harmônica para um ponto da corda situado em e no tempo .
Encontre a velocidade de propagação de uma onda sonora em um tubo aberto dos dois lados, com 20 cm de comprimento e frequência fundamental de 920 Hz .