a - Desenvolva a expressão do Laplaciano em coordenadas esféricas para o campo dado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa desenvolver a expressão do Laplaciano em coordenadas esféricas para um campo específico. O Laplaciano é uma operação matemática que nos ajuda a entender como uma função se comporta em diferentes pontos do espaço. Para fazer isso em coordenadas esféricas, vamos precisar entender as relações entre as coordenadas cartesianas ( x, y, z) e as esféricas ( r, theta, phi).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é definido por três valores: a distância radial r do ponto à origem, o ângulo polar theta (que é o ângulo com o eixo z) e o ângulo azimutal phi (que é o ângulo no plano xy a partir do eixo x).

Passo 3

O Laplaciano em coordenadas cartesianas é dado por:
nabla^2 f = partial^2 fpartial x^2 + partial^2 fpartial y^2 + partial^2 fpartial z^2
Mas como queremos expressá-lo em coordenadas esféricas, precisamos reescrever essas derivadas em termos de r, theta e phi.

Passo 4

Usamos as seguintes relações de derivada para fazer a mudança de coordenadas:
partialpartial x = sintheta cosphi partialpartial r + costheta cosphir partialpartial theta - sinphir sintheta partialpartial phi
E similares para partialpartial y e partialpartial z. Isso pode ficar bem complicado, então vamos direto ao resultado final já conhecido para o Laplaciano em coordenadas esféricas.

Passo 5

O Laplaciano em coordenadas esféricas fica:
nabla^2 f = 1r^2 partialpartial r( r^2 partial fpartial r ) + 1r^2 sintheta partialpartial theta( sintheta partial fpartial theta ) + 1r^2 sin^2theta partial^2 fpartial phi^2
Isso basicamente significa que para qualquer função f(r, theta, phi), a aplicação do Laplaciano envolve derivadas em relação a r, theta e phi, cada uma ponderada por fatores que dependem da geometria esférica.

Resposta

A expressão do Laplaciano em coordenadas esféricas para um campo f(r, theta, phi) é:
nabla^2 f = 1r^2 partialpartial r( r^2 partial fpartial r ) + 1r^2 sintheta partialpartial theta( sintheta partial fpartial theta ) + 1r^2 sin^2theta partial^2 fpartial phi^2

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