a - Desenvolva a expressão do Laplaciano em coordenadas esféricas para o campo dado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa desenvolver a expressão do Laplaciano em coordenadas esféricas para um campo específico. O Laplaciano é uma operação matemática que nos ajuda a entender como uma função se comporta em diferentes pontos do espaço. Para fazer isso em coordenadas esféricas, vamos precisar entender as relações entre as coordenadas cartesianas (
,
,
) e as esféricas (
,
,
).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é definido por três valores: a distância radial
do ponto à origem, o ângulo polar
(que é o ângulo com o eixo
) e o ângulo azimutal
(que é o ângulo no plano
a partir do eixo
).
Passo 3
O Laplaciano em coordenadas cartesianas é dado por:
Mas como queremos expressá-lo em coordenadas esféricas, precisamos reescrever essas derivadas em termos de
,
e
.
Passo 4
Usamos as seguintes relações de derivada para fazer a mudança de coordenadas:
E similares para
e
. Isso pode ficar bem complicado, então vamos direto ao resultado final já conhecido para o Laplaciano em coordenadas esféricas.
Passo 5
O Laplaciano em coordenadas esféricas fica:
Isso basicamente significa que para qualquer função
, a aplicação do Laplaciano envolve derivadas em relação a
,
e
, cada uma ponderada por fatores que dependem da geometria esférica.
Resposta
A expressão do Laplaciano em coordenadas esféricas para um campo
é: