a - Desenvolva a expressão do Laplaciano em coordenadas esféricas para o campo dado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa desenvolver a expressão do Laplaciano em coordenadas esféricas para um campo específico. O Laplaciano é uma operação matemática que nos ajuda a entender como uma função se comporta em diferentes pontos do espaço. Para fazer isso em coordenadas esféricas, vamos precisar entender as relações entre as coordenadas cartesianas (
,
,
) e as esféricas (
,
,
).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é definido por três valores: a distância radial
do ponto à origem, o ângulo polar
(que é o ângulo com o eixo
) e o ângulo azimutal
(que é o ângulo no plano
a partir do eixo
).
Passo 3
O Laplaciano em coordenadas cartesianas é dado por:
Mas como queremos expressá-lo em coordenadas esféricas, precisamos reescrever essas derivadas em termos de
,
e
.
Passo 4
Usamos as seguintes relações de derivada para fazer a mudança de coordenadas:
E similares para
e
. Isso pode ficar bem complicado, então vamos direto ao resultado final já conhecido para o Laplaciano em coordenadas esféricas.
Passo 5
O Laplaciano em coordenadas esféricas fica:
Isso basicamente significa que para qualquer função
, a aplicação do Laplaciano envolve derivadas em relação a
,
e
, cada uma ponderada por fatores que dependem da geometria esférica.
Resposta
A expressão do Laplaciano em coordenadas esféricas para um campo
é:
Exercícios relacionados
a - Calcule o produto misto
, onde
é um vetor de referência adicional de sua escolha. Interprete o valor obtido no contexto do volume do paralelepípedo formado pelos vetores.
Questão
pts. Uma casca esférica de raio interno
e raio externo
, uniformemente carregada com densidade volumétrica
, envolve uma esfera concêntrica de raio
, também carregada uniformemente com a mesma densidade. Calcule o campo elétrico nas quatro regiões diferentes do espaço:
d-)
d-)
Uma corda uniforme, de 20 m de comprimento e massa de 4 Kg esta esticada sob uma tensão de 20 N . Faz-se oscilar harmônica e transversalmente uma extremidade da corda, com amplitude de 3 cm e frequência de 6 oscilações por segundo. O deslocamento inicial da extremidade da corda é de
para cima. Responda aos itens abaixo.
(A) Ache a velocidade de propagação da onda.
(B) Encontre os valores da frequência e comprimento da onda.
© Escreva a função de onda harmônica para um ponto da corda situado em
e no tempo
.
(A) Ache a velocidade de propagação da onda.
(B) Encontre os valores da frequência e comprimento da onda.
© Escreva a função de onda harmônica
Encontre a velocidade de propagação de uma onda sonora em um tubo aberto dos dois lados, com 20 cm de comprimento e frequência fundamental de 920 Hz .