Uma corda uniforme, de 20 m de comprimento e massa de 4 Kg esta esticada sob uma tensão de 20 N . Faz-se oscilar harmônica e transversalmente uma extremidade da corda, com amplitude de 3 cm e frequência de 6 oscilações por segundo. O deslocamento inicial da extremidade da corda é de
para cima. Responda aos itens abaixo.
(A) Ache a velocidade de propagação da onda.
(B) Encontre os valores da frequência e comprimento da onda.
© Escreva a função de onda harmônica
para um ponto da corda situado em
e no tempo
.
(A) Ache a velocidade de propagação da onda.
(B) Encontre os valores da frequência e comprimento da onda.
© Escreva a função de onda harmônica
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma corda uniforme de 20 metros de comprimento e 4 kg de massa, esticada com uma tensão de 20 N. Essa corda está oscilando de maneira harmônica e transversal com uma amplitude de 3 cm e uma frequência de 6 oscilações por segundo. Além disso, o deslocamento inicial da extremidade da corda é de 1,5 cm para cima.
Vamos resolver os itens (A), (B) e © que envolvem conceitos de ondas mecânicas, como velocidade de propagação, frequência, comprimento de onda e a função de onda harmônica.
Passo 2
Item (A): Calcular a velocidade de propagação da onda.
Primeiro, precisamos entender como calcular a velocidade de propagação de uma onda em uma corda. A fórmula para a velocidade
de uma onda em uma corda é dada por:
onde:
-
é a tensão na corda, -
é a massa linear da corda (massa por unidade de comprimento).
Vamos calcular
primeiro.
A massa total da corda é 4 kg e o comprimento é 20 m, então:
Agora, usando a tensão
:
Passo 3
Item (B): Encontrar os valores da frequência e comprimento da onda.
Já sabemos a frequência
, que é 6 oscilações por segundo (ou 6 Hz).
Para encontrar o comprimento de onda
, usamos a relação entre velocidade, frequência e comprimento de onda:
Já temos
e
, então:
Passo 4
Item ©: Escrever a função de onda harmônica
para um ponto da corda situado em
e no tempo
.
A função de onda harmônica geral pode ser escrita como:
onde:
-
é a amplitude, -
é o número de onda, -
é a frequência angular, -
é a fase inicial.
Vamos identificar cada um desses termos com os dados fornecidos.
- Amplitude
: 3 cm = 0,03 m. - Frequência angular
: . - Número de onda
: . - Fase inicial
: A extremidade tem um deslocamento inicial de 1,5 cm para cima, então .
Agora, substituindo todos os valores na função de onda:
Resposta
(A) A velocidade de propagação da onda é de 10 m/s.
(B) A frequência da onda é 6 Hz e o comprimento de onda é aproximadamente 1,666 m.
© A função de onda harmônica para um ponto da corda em
e no tempo
é:
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, onde
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b) Fy:
b) Fy: