Uma corda uniforme, de 20 m de comprimento e massa de 4 Kg esta esticada sob uma tensão de 20 N . Faz-se oscilar harmônica e transversalmente uma extremidade da corda, com amplitude de 3 cm e frequência de 6 oscilações por segundo. O deslocamento inicial da extremidade da corda é de para cima. Responda aos itens abaixo.
(A) Ache a velocidade de propagação da onda.
(B) Encontre os valores da frequência e comprimento da onda.
© Escreva a função de onda harmônica para um ponto da corda situado em e no tempo .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma corda uniforme de 20 metros de comprimento e 4 kg de massa, esticada com uma tensão de 20 N. Essa corda está oscilando de maneira harmônica e transversal com uma amplitude de 3 cm e uma frequência de 6 oscilações por segundo. Além disso, o deslocamento inicial da extremidade da corda é de 1,5 cm para cima.
Vamos resolver os itens (A), (B) e © que envolvem conceitos de ondas mecânicas, como velocidade de propagação, frequência, comprimento de onda e a função de onda harmônica.

Passo 2

Item (A): Calcular a velocidade de propagação da onda.
Primeiro, precisamos entender como calcular a velocidade de propagação de uma onda em uma corda. A fórmula para a velocidade de uma onda em uma corda é dada por:
onde:
  • é a tensão na corda,
  • é a massa linear da corda (massa por unidade de comprimento).
Vamos calcular primeiro.
A massa total da corda é 4 kg e o comprimento é 20 m, então:
Agora, usando a tensão :

Passo 3

Item (B): Encontrar os valores da frequência e comprimento da onda.
Já sabemos a frequência , que é 6 oscilações por segundo (ou 6 Hz).
Para encontrar o comprimento de onda , usamos a relação entre velocidade, frequência e comprimento de onda:
Já temos e , então:

Passo 4

Item ©: Escrever a função de onda harmônica para um ponto da corda situado em e no tempo .
A função de onda harmônica geral pode ser escrita como:
onde:
  • é a amplitude,
  • é o número de onda,
  • é a frequência angular,
  • é a fase inicial.
Vamos identificar cada um desses termos com os dados fornecidos.
  1. Amplitude : 3 cm = 0,03 m.
  2. Frequência angular : .
  3. Número de onda : .
  4. Fase inicial : A extremidade tem um deslocamento inicial de 1,5 cm para cima, então .
Agora, substituindo todos os valores na função de onda:

Resposta

(A) A velocidade de propagação da onda é de 10 m/s.
(B) A frequência da onda é 6 Hz e o comprimento de onda é aproximadamente 1,666 m.
© A função de onda harmônica para um ponto da corda em e no tempo é:

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