Questão pts. Uma casca esférica de raio interno e raio externo , uniformemente carregada com densidade volumétrica , envolve uma esfera concêntrica de raio , também carregada uniformemente com a mesma densidade. Calcule o campo elétrico nas quatro regiões diferentes do espaço:
d-)

Passo 1

Vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos duas partes carregadas concêntricas: uma esfera sólida de raio e uma casca esférica com raio interno e raio externo . Ambas têm a mesma densidade volumétrica de carga . O objetivo é calcular o campo elétrico na região onde . Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss da eletricidade, que nos ajuda a encontrar campos elétricos devido a distribuições simétricas de carga.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso indica que estamos calculando o campo elétrico fora de toda a distribuição de carga, ou seja, a uma distância maior ou igual ao raio externo da casca esférica. Nessa região, toda a carga dentro de uma esfera de raio contribui para o campo elétrico.

Passo 3

A Lei de Gauss nos diz que:
Aqui, é o campo elétrico, é um elemento de área na superfície gaussiana, é a carga total dentro da superfície gaussiana, e é a permissividade do vácuo.

Passo 4

Vamos escolher uma superfície gaussiana esférica de raio . Devido à simetria esférica, o campo elétrico terá a mesma magnitude em toda a superfície e será radial. Assim, a integral de superfície simplifica para:

Passo 5

Agora, precisamos calcular , a carga total dentro da superfície gaussiana. Temos duas contribuições: a da esfera de raio e a da casca esférica entre e .
Para a esfera sólida:
Para a casca esférica:
Então,

Passo 6

Substituindo na expressão da Lei de Gauss:
Simplificando:

Resposta

O campo elétrico na região é dado por:

Exercícios relacionados

Utilizando coordenadas cilíndricas, calcule a integral de volume de sobre a região delimitada pelo cilindro de raio e altura , com base no plano e topo no plano . Justifique a escolha do sistema de coordenadas e apresente todos os passos do cálculo.
Seja , um campo vetorial definido em coordenadas esféricas. Calcule a divergência de e, em seguida, determine a integral de volume de sobre uma esfera de raio centrada na origem. Verifique o resultado obtido utilizando o Teorema de Gauss.
a - Calcule o produto misto , onde é um vetor de referência adicional de sua escolha. Interprete o valor obtido no contexto do volume do paralelepípedo formado pelos vetores.
a - Desenvolva a expressão do Laplaciano em coordenadas esféricas para o campo dado.