Questão 6 - 2 , 0 pts. Uma casca esférica de raio interno b e raio externo c, uniformemente carregada com densidade volumétrica rho, envolve uma esfera concêntrica de raio a, também carregada uniformemente com a mesma densidade. Calcule o campo elétrico nas quatro regiões diferentes do espaço:
d-) c <= r [0,5 pt]

Passo 1

Vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos duas partes carregadas concêntricas: uma esfera sólida de raio a e uma casca esférica com raio interno b e raio externo c. Ambas têm a mesma densidade volumétrica de carga rho. O objetivo é calcular o campo elétrico na região onde r >= c. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss da eletricidade, que nos ajuda a encontrar campos elétricos devido a distribuições simétricas de carga.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa r >= c. Isso indica que estamos calculando o campo elétrico fora de toda a distribuição de carga, ou seja, a uma distância maior ou igual ao raio externo da casca esférica. Nessa região, toda a carga dentro de uma esfera de raio r contribui para o campo elétrico.

Passo 3

A Lei de Gauss nos diz que:
oint E cdot dA = Qencvarepsilon0
Aqui, E é o campo elétrico, dA é um elemento de área na superfície gaussiana, Qenc é a carga total dentro da superfície gaussiana, e varepsilon0 é a permissividade do vácuo.

Passo 4

Vamos escolher uma superfície gaussiana esférica de raio r >= c. Devido à simetria esférica, o campo elétrico E terá a mesma magnitude em toda a superfície e será radial. Assim, a integral de superfície simplifica para:
E cdot 4pi r^2 = Qtotalvarepsilon0

Passo 5

Agora, precisamos calcular Qtotal, a carga total dentro da superfície gaussiana. Temos duas contribuições: a da esfera de raio a e a da casca esférica entre b e c.
Para a esfera sólida:
Qesfera = rho cdot 43pi a^3
Para a casca esférica:
Qcasca = rho cdot (43pi c^3 - 43pi b^3) = rho cdot 43pi (c^3 - b^3)
Então,
Qtotal = Qesfera + Qcasca = rho cdot 43pi (a^3 + c^3 - b^3)

Passo 6

Substituindo Qtotal na expressão da Lei de Gauss:
E cdot 4pi r^2 = rho cdot 43pi (a^3 + c^3 - b^3)varepsilon0
Simplificando:
E = rho (a^3 + c^3 - b^3)3 varepsilon0 r^2

Resposta

O campo elétrico na região c <= r é dado por:
E = rho (a^3 + c^3 - b^3)3 varepsilon0 r^2

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