Questão
pts. Uma casca esférica de raio interno
e raio externo
, uniformemente carregada com densidade volumétrica
, envolve uma esfera concêntrica de raio
, também carregada uniformemente com a mesma densidade. Calcule o campo elétrico nas quatro regiões diferentes do espaço:
d-)
d-)
Passo 1
Vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos duas partes carregadas concêntricas: uma esfera sólida de raio
e uma casca esférica com raio interno
e raio externo
. Ambas têm a mesma densidade volumétrica de carga
. O objetivo é calcular o campo elétrico na região onde
. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss da eletricidade, que nos ajuda a encontrar campos elétricos devido a distribuições simétricas de carga.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso indica que estamos calculando o campo elétrico fora de toda a distribuição de carga, ou seja, a uma distância maior ou igual ao raio externo da casca esférica. Nessa região, toda a carga dentro de uma esfera de raio
contribui para o campo elétrico.
Passo 3
A Lei de Gauss nos diz que:
Aqui,
é o campo elétrico,
é um elemento de área na superfície gaussiana,
é a carga total dentro da superfície gaussiana, e
é a permissividade do vácuo.
Passo 4
Vamos escolher uma superfície gaussiana esférica de raio
. Devido à simetria esférica, o campo elétrico
terá a mesma magnitude em toda a superfície e será radial. Assim, a integral de superfície simplifica para:
Passo 5
Agora, precisamos calcular
, a carga total dentro da superfície gaussiana. Temos duas contribuições: a da esfera de raio
e a da casca esférica entre
e
.
Para a esfera sólida:
Para a casca esférica:
Então,
Passo 6
Substituindo
na expressão da Lei de Gauss:
Simplificando:
Resposta
O campo elétrico na região
é dado por:
Exercícios relacionados
Utilizando coordenadas cilíndricas, calcule a integral de volume de
sobre a região
delimitada pelo cilindro de raio
e altura
, com base no plano
e topo no plano
. Justifique a escolha do sistema de coordenadas e apresente todos os passos do cálculo.
Seja
, um campo vetorial definido em coordenadas esféricas. Calcule a divergência de
e, em seguida, determine a integral de volume de
sobre uma esfera de raio
centrada na origem. Verifique o resultado obtido utilizando o Teorema de Gauss.
a - Calcule o produto misto
, onde
é um vetor de referência adicional de sua escolha. Interprete o valor obtido no contexto do volume do paralelepípedo formado pelos vetores.
a - Desenvolva a expressão do Laplaciano em coordenadas esféricas para o campo dado.