Utilizando coordenadas cilíndricas, calcule a integral de volume de sobre a região delimitada pelo cilindro de raio e altura , com base no plano e topo no plano . Justifique a escolha do sistema de coordenadas e apresente todos os passos do cálculo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular uma integral de volume usando coordenadas cilíndricas. A função que vamos integrar é , e a região é um cilindro com raio , altura , base no plano e topo no plano . Vamos precisar entender coordenadas cilíndricas e como configurar a integral nesse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas cilíndricas, qualquer ponto no espaço é representado por , onde:
  • é a distância do ponto ao eixo ,
  • é o ângulo em torno do eixo ,
  • é a altura do ponto.
A escolha das coordenadas cilíndricas é ótima aqui porque a região é um cilindro, o que torna os limites de integração mais simples e a função mais fácil de trabalhar.

Passo 3

Vamos reescrever a função em coordenadas cilíndricas. Sabemos que . Então, a função fica:

Passo 4

Agora, precisamos expressar o elemento de volume em coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, temos:

Passo 5

Vamos estabelecer os limites de integração para cada variável:
  • Para , vai de até o raio do cilindro, que é .
  • Para , gira ao redor do cilindro completo, de até .
  • Para , vai da base até o topo do cilindro, de até .

Passo 6

Agora, montamos a integral tripla:
Simplificando, fica:

Passo 7

Vamos resolver a integral em relação a primeiro:

Passo 8

Substituímos esse resultado na integral e resolvemos em relação a :

Passo 9

Finalmente, resolvemos a integral em relação a :

Resposta

A integral de volume vale .

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