Utilizando coordenadas cilíndricas, calcule a integral de volume de (x^2+y^2) z sobre a região V delimitada pelo cilindro de raio R=1 e altura h=3, com base no plano z=0 e topo no plano z=3. Justifique a escolha do sistema de coordenadas e apresente todos os passos do cálculo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular uma integral de volume usando coordenadas cilíndricas. A função que vamos integrar é (x^2 + y^2) z, e a região V é um cilindro com raio R=1, altura h=3, base no plano z=0 e topo no plano z=3. Vamos precisar entender coordenadas cilíndricas e como configurar a integral nesse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas cilíndricas, qualquer ponto no espaço é representado por (r, theta, z), onde:
  • r é a distância do ponto ao eixo z,
  • theta é o ângulo em torno do eixo z,
  • z é a altura do ponto.
A escolha das coordenadas cilíndricas é ótima aqui porque a região V é um cilindro, o que torna os limites de integração mais simples e a função mais fácil de trabalhar.

Passo 3

Vamos reescrever a função (x^2 + y^2) z em coordenadas cilíndricas. Sabemos que x^2 + y^2 = r^2. Então, a função fica:
(x^2 + y^2) z = r^2 z

Passo 4

Agora, precisamos expressar o elemento de volume dV em coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, temos:
dV = r , dz , dr , dtheta

Passo 5

Vamos estabelecer os limites de integração para cada variável:
  • Para r, vai de 0 até o raio do cilindro, que é 1.
  • Para theta, gira ao redor do cilindro completo, de 0 até 2pi.
  • Para z, vai da base até o topo do cilindro, de 0 até 3.

Passo 6

Agora, montamos a integral tripla:
integral0^2pi integral0^1 integral0^3 r^2 z cdot r , dz , dr , dtheta
Simplificando, fica:
integral0^2pi integral0^1 integral0^3 r^3 z , dz , dr , dtheta

Passo 7

Vamos resolver a integral em relação a z primeiro:
integral0^3 r^3 z , dz = r^3 [z^22]0^3 = r^3 (92) = 92 r^3

Passo 8

Substituímos esse resultado na integral e resolvemos em relação a r:
92 integral0^2pi integral0^1 r^3 , dr , dtheta = 92 integral0^2pi [r^44]0^1 , dtheta = 92 cdot 14 integral0^2pi , dtheta = 98 integral0^2pi , dtheta

Passo 9

Finalmente, resolvemos a integral em relação a theta:
98 [theta]0^2pi = 98 cdot 2pi = 9pi4

Resposta

A integral de volume vale dfrac9,pi4.

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