Utilizando coordenadas cilíndricas, calcule a integral de volume de
sobre a região
delimitada pelo cilindro de raio
e altura
, com base no plano
e topo no plano
. Justifique a escolha do sistema de coordenadas e apresente todos os passos do cálculo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular uma integral de volume usando coordenadas cilíndricas. A função que vamos integrar é
, e a região
é um cilindro com raio
, altura
, base no plano
e topo no plano
. Vamos precisar entender coordenadas cilíndricas e como configurar a integral nesse sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas cilíndricas, qualquer ponto no espaço é representado por
, onde:
-
é a distância do ponto ao eixo , -
é o ângulo em torno do eixo , -
é a altura do ponto.
A escolha das coordenadas cilíndricas é ótima aqui porque a região
é um cilindro, o que torna os limites de integração mais simples e a função mais fácil de trabalhar.
Passo 3
Vamos reescrever a função
em coordenadas cilíndricas. Sabemos que
. Então, a função fica:
Passo 4
Agora, precisamos expressar o elemento de volume
em coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, temos:
Passo 5
Vamos estabelecer os limites de integração para cada variável:
- Para
, vai de até o raio do cilindro, que é . - Para
, gira ao redor do cilindro completo, de até . - Para
, vai da base até o topo do cilindro, de até .
Passo 6
Agora, montamos a integral tripla:
Simplificando, fica:
Passo 7
Vamos resolver a integral em relação a
primeiro:
Passo 8
Substituímos esse resultado na integral e resolvemos em relação a
:
Passo 9
Finalmente, resolvemos a integral em relação a
:
Resposta
A integral de volume vale
.