Calcule o produto misto
, sabendo que
é ortogonal aos vetores
e
, a base
é negativa, o ângulo entre os vetores
e
é de 60 graus, os vetores
são unitários e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos que calcular o produto misto
. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos importantes:
- Produto Misto: Também conhecido como produto escalar triplo, ele nos dá o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores.
- Vetores Ortogonais: Dois vetores são ortogonais se formam um ângulo de 90 graus entre si.
- Base Negativa: Indica a orientação dos vetores; se for negativa, o produto misto será negativo.
- Ângulo entre Vetores: Usaremos o ângulo de 60 graus para encontrar o seno desse ângulo.
- Norma dos Vetores: Já sabemos que
e são vetores unitários (norma = 1) e que .
Vamos precisar usar a fórmula do produto misto e algumas propriedades trigonométricas para resolver.
Passo 2
Primeiro, lembremos a definição do produto misto:
Mas também podemos expressar isso como:
Como
é ortogonal a
e
, o vetor
está na direção perpendicular ao plano formado por
e
. Portanto, o produto vetorial
também está nessa direção.
Passo 3
Sabemos que o produto vetorial de dois vetores,
, tem magnitude igual a:
Onde
é o ângulo entre
e
. Como
e
são vetores unitários e o ângulo entre eles é 60 graus:
Passo 4
Agora, o produto misto pode ser calculado multiplicando a magnitude do produto vetorial pelo comprimento de
e considerando a orientação (base negativa). Assim:
Onde
é o ângulo entre
e
. Como
é ortogonal a
e
,
ou
. Mas como a base é negativa, sabemos que
.
Passo 5
Substituindo os valores:
Resposta
O produto misto
é igual a
.