Calcule o produto misto [u, v, w], sabendo que w é ortogonal aos vetores u e v, a base u, v, w é negativa, o ângulo entre os vetores u e v é de 60 graus, os vetores u, v são unitários e |w|=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos que calcular o produto misto [u, v, w]. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos importantes:
  • Produto Misto: Também conhecido como produto escalar triplo, ele nos dá o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores.
  • Vetores Ortogonais: Dois vetores são ortogonais se formam um ângulo de 90 graus entre si.
  • Base Negativa: Indica a orientação dos vetores; se for negativa, o produto misto será negativo.
  • Ângulo entre Vetores: Usaremos o ângulo de 60 graus para encontrar o seno desse ângulo.
  • Norma dos Vetores: Já sabemos que u e v são vetores unitários (norma = 1) e que |w| = 2.
Vamos precisar usar a fórmula do produto misto e algumas propriedades trigonométricas para resolver.

Passo 2

Primeiro, lembremos a definição do produto misto:
[u, v, w] = u cdot (v times w)
Mas também podemos expressar isso como:
[u, v, w] = (u times v) cdot w
Como w é ortogonal a u e v, o vetor w está na direção perpendicular ao plano formado por u e v. Portanto, o produto vetorial u times v também está nessa direção.

Passo 3

Sabemos que o produto vetorial de dois vetores, u times v, tem magnitude igual a:
|u times v| = |u| cdot |v| cdot sin(theta)
Onde theta é o ângulo entre u e v. Como u e v são vetores unitários e o ângulo entre eles é 60 graus:
|u times v| = 1 cdot 1 cdot sin(60^circ) = raiz32

Passo 4

Agora, o produto misto pode ser calculado multiplicando a magnitude do produto vetorial pelo comprimento de w e considerando a orientação (base negativa). Assim:
[u, v, w] = |u times v| cdot |w| cdot cos(phi)
Onde phi é o ângulo entre u times v e w. Como w é ortogonal a u e v, phi = 0^circ ou 180^circ. Mas como a base é negativa, sabemos que cos(phi) = -1.

Passo 5

Substituindo os valores:
[u, v, w] = raiz32 cdot 2 cdot (-1) = -raiz3

Resposta

O produto misto [u, v, w] é igual a -raiz3.

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