Supondo que A, B in Mn times n e que [A, B] neq 0, diga quais das seguintes afirmações são verdadeiras :
(A-B)^2=A^2-2 A B+B^2;
Como mudaria a situação se [A, B]=0 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para resolver um exercício sobre matrizes quadradas e de ordem . O enunciado nos dá que o comutador não é zero, ou seja, . Precisamos verificar se a igualdade é verdadeira nesse contexto. Além disso, queremos saber como essa situação muda se o comutador for igual a zero, ou seja, se .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa elevar uma matriz ao quadrado. Para uma matriz , significa multiplicar a matriz por ela mesma: .

Passo 3

Agora, vamos expandir (A - B)^2 = (A - B)(A - B) = A(A - B) - B(A - B) = A^2 - AB - BA + B^2 . Usando a propriedade distributiva da multiplicação, temos:

Passo 4

Vamos comparar isso com a expressão . A diferença entre as duas expressões está nos termos versus .

Passo 5

Se o comutador (A - B)^2 neq A^2 - 2AB + B^2 , significa que . Nesse caso, não é igual a , então:
Portanto, a igualdade não é verdadeira quando .

Passo 6

Agora, vamos ver o que acontece se (A - B)^2 = A^2 - AB - BA + B^2 = A^2 - AB - AB + B^2 = A^2 - 2AB + B^2 , ou seja, . Nesse caso, podemos substituir por na expressão expandida:

Resposta

Quando , a igualdade não é verdadeira. Porém, se , ou seja, se , então passa a ser verdadeira.

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