Mostre que o produto de duas matrices não é comutativo confrontando os dois produtos e onde e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que o produto de duas matrizes não é comutativo, ou seja, que é diferente de . Vamos utilizar a matéria de álgebra linear, especificamente o conceito de multiplicação de matrizes. Para isso, precisaremos entender como multiplicar matrizes e comparar os resultados dos produtos e .
Passo 2
Primeiro, vamos multiplicar as matrizes A = 1 & 2 & 3 2 & 1 & -1 B = 1 & 2 3 & 2 1 & -1 e (A times B)ij = sumk=1^3 Aik times Bkj . A matriz (1 times 1) + (2 times 3) + (3 times 1) = 1 + 6 + 3 = 10 é uma matriz (1 times 2) + (2 times 2) + (3 times -1) = 2 + 4 - 3 = 3 (2 linhas e 3 colunas) e a matriz (2 times 1) + (1 times 3) + (-1 times 1) = 2 + 3 - 1 = 4 é uma matriz (2 times 2) + (1 times 2) + (-1 times -1) = 4 + 2 + 1 = 7 (3 linhas e 2 colunas). Quando multiplicamos uma matriz A times B = 10 & 3 4 & 7 por uma matriz , o resultado é uma matriz .
Então, o produto será uma matriz .
Para calcular cada elemento da matriz resultante, fazemos o seguinte:
Vamos calcular cada elemento:
Elemento (1,1):
Elemento (1,2):
Elemento (2,1):
Elemento (2,2):
Portanto,
Passo 3
Agora, vamos multiplicar (B times A)ij = sumk=1^2 Bik times Akj . A matriz (1 times 1) + (2 times 2) = 1 + 4 = 5 é (1 times 2) + (2 times 1) = 2 + 2 = 4 e a matriz (1 times 3) + (2 times -1) = 3 - 2 = 1 é (3 times 1) + (2 times 2) = 3 + 4 = 7 . O produto (3 times 2) + (2 times 1) = 6 + 2 = 8 será uma matriz (3 times 3) + (2 times -1) = 9 - 2 = 7 .
Usando a mesma fórmula de multiplicação:
(1 times 1) + (-1 times 2) = 1 - 2 = -1
Calculando cada elemento:
Elemento (1,1):
(1 times 2) + (-1 times 1) = 2 - 1 = 1
Elemento (1,2):
(1 times 3) + (-1 times -1) = 3 + 1 = 4
Elemento (1,3):
B times A = 5 & 4 & 1 7 & 8 & 7 -1 & 1 & 4
Elemento (2,1):
Elemento (2,2):
Elemento (2,3):
Elemento (3,1):
Elemento (3,2):
Elemento (3,3):
Portanto,
Passo 4
Agora que temos A times B = 10 & 3 4 & 7 B times A = 5 & 4 & 1 7 & 8 & 7 -1 & 1 & 4 e , vamos comparar as duas matrizes.
Observamos que:
Dimensões Diferentes: é uma matriz , enquanto é uma matriz . Matrizes de dimensões diferentes não podem ser iguais.
Elementos Diferentes: Mesmo que tentássemos comparar elementos correspondentes, os valores não seriam os mesmos.
Essa diferença mostra que não é igual a .
Resposta
Concluímos que é diferente de , demonstrando que o produto de duas matrizes não é comutativo.