Sabendo que a área do paralelogramo gerado por u e v é raiz2, o ângulo entre u e v é de 45 graus e |u|=2, determine |v|.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir o tamanho do vetor v, sabendo que a área do paralelogramo formado por u e v é raiz2, o ângulo entre eles é de 45 graus, e o tamanho de u é 2. Isso envolve conhecimentos de geometria vetorial, especialmente sobre a área de paralelogramos e relações trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a área de um paralelogramo formado por dois vetores. A fórmula é:
Área = |u| cdot |v| cdot sin(theta) Á
onde |u| e |v| são os tamanhos dos vetores, e theta é o ângulo entre eles.

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores que a gente já conhece na fórmula. Sabemos que a área é raiz2, |u| = 2, e theta = 45^circ. Então:
raiz2 = 2 cdot |v| cdot sin(45^circ)

Passo 4

A gente sabe que sin(45^circ) = raiz22. Vamos substituir isso na equação:
raiz2 = 2 cdot |v| cdot raiz22
Simplificando, o 2 do numerador e o 2 do denominador se cancelam:
raiz2 = |v| cdot raiz2

Passo 5

Para encontrar |v|, vamos dividir os dois lados da equação por raiz2:
|v| = raiz2raiz2 = 1

Resposta

O tamanho de v é 1.

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