Escreva as combinações lineares para os seguintes conjuntos de vetores.
v=(4,-1) é uma C.L de u=(1,-1) e v=(2,1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para escrever as combinações lineares de certos vetores. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear. Para resolver, vamos precisar entender como expressar um vetor como combinação de outros vetores, ou seja, encontrar coeficientes que, multiplicados pelos vetores dados, resultem no vetor desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores que temos:
  • Vetor v = a cdot u + b cdot w
  • Vetor
  • Vetor
A ideia é encontrar números e tais que possa ser escrito como uma combinação linear de e . Matematicamente, isso fica assim:

Passo 3

Vamos substituir os valores dos vetores na equação:
(4, -1) = a cdot (1, -1) + b cdot (2, 1)
Isso nos dá um sistema de equações para resolver:
4 = a cdot 1 + b cdot 2 -1 = a cdot (-1) + b cdot 1
Simplificando:
4 = a + 2b -1 = -a + b

Passo 4

Vamos resolver esse sistema. Da segunda equação, podemos expressar -1 = -a + b implies a = b + 1 em termos de 4 = (b + 1) + 2b 4 = 3b + 1 3b = 3 b = 1 :
a = 1 + 1 = 2
Agora, substituímos na primeira equação:
Agora que temos , substituímos de volta para encontrar :

Resposta

Portanto, a combinação linear é:
v = 2 cdot u + 1 cdot w
Ou seja,
(4, -1) = 2 cdot (1, -1) + 1 cdot (2, 1)

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