Calcule o produto misto [u, v, w] quando u=(1,0,1), v=(1,1,1) e w=(2,1,2)

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver esse exercício que pede para calcular o produto misto onde , e . Esse assunto faz parte da Álgebra Vetorial, especificamente envolvendo produto vetorial e produto escalar. Vamos precisar calcular o produto vetorial de e , e depois fazer o produto escalar desse resultado com .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto misto. O produto misto [u, v, w] = u cdot (v times w) é um número que representa o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores. Matematicamente, ele é calculado fazendo o produto escalar de com o produto vetorial de e :

Passo 3

Vamos começar calculando o produto vetorial v times w = ( v2 w3 - v3 w2, v3 w1 - v1 w3, v1 w2 - v2 w1 ) . O produto vetorial de dois vetores v times w = ( 1 cdot 2 - 1 cdot 1, 1 cdot 2 - 1 cdot 2, 1 cdot 1 - 1 cdot 2 ) = (2 - 1, 2 - 2, 1 - 2) = (1, 0, -1) e é dado por:
Aplicando os valores de e :

Passo 4

Agora que temos u cdot (a, b, c) = u1 a + u2 b + u3 c , vamos calcular o produto escalar com u cdot (v times w) = (1) cdot 1 + (0) cdot 0 + (1) cdot (-1) = 1 + 0 - 1 = 0 . O produto escalar de dois vetores e é:
Substituindo os valores:

Resposta

O produto misto é igual a 0.

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