Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
é uma projeção ortogonal em um plano do
, então
.
II - Se
é uma reflexão em torno de uma reta do
, então
.
(A) Apenas II é verdadeira.
(B) Todas são falsas.
© Apenas I é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei
I - Se
II - Se
(A) Apenas II é verdadeira.
(B) Todas são falsas.
© Apenas I é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei
Passo 1
Vamos resolver um exercício de Álgebra Linear que fala sobre projeções ortogonais e reflexões em
. Precisamos verificar se as afirmações dadas são verdadeiras ou falsas usando conceitos como determinante de matrizes e propriedades de transformações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma projeção ortogonal em um plano no espaço
. Basicamente, uma projeção ortogonal
pega qualquer vetor no espaço e o “projeta” perpendicularmente sobre um plano.
Passo 3
Sabemos que para uma transformação linear
, o determinante
nos dá informações sobre se a transformação é invertível. Se
, então
é invertível.
Passo 4
Analisando a afirmação I: Se
é uma projeção ortogonal em um plano do
, então
.
Vamos calcular
. Sabemos que a projeção ortogonal
tem autovalores 1 (para vetores no plano) e 0 (para vetores na direção perpendicular ao plano). Portanto, os autovalores de
serão
e
.
O determinante é o produto dos autovalores:
Então, a afirmação I é verdadeira.
Passo 5
Agora, analisando a afirmação II: Se
é uma reflexão em torno de uma reta do
, então
.
Uma reflexão
em torno de uma reta possui autovalores 1 (para vetores na linha de reflexão) e -1 (para vetores no plano perpendicular). Portanto, os autovalores de
serão
e
.
O determinante é o produto dos autovalores:
Então, a afirmação II também é verdadeira.
Resposta
A opção correta é (D) Todas são verdadeiras.
Exercícios relacionados
Calcule os produtos vetoriais indicados
Seja
uma matriz
cujos autovalores são -9 e 5 associados, respectivamente, a
e
.
Defina . A inversa de
pode ser expressa como:
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G) Não sei
Defina
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G) Não sei
Dada a parábola de equação
, determinar:
as interseções com os eixos coordenados;
as interseções com os eixos coordenados;
Calcule o produto misto
quando
e