Considere as afirmativas abaixo:
I - Se T é uma projeção ortogonal em um plano do R^3, então det(T+2 I) neq 0.
II - Se R é uma reflexão em torno de uma reta do R^3, então det(R+I)=0.
(A) Apenas II é verdadeira.
(B) Todas são falsas.
© Apenas I é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Álgebra Linear que fala sobre projeções ortogonais e reflexões em . Precisamos verificar se as afirmações dadas são verdadeiras ou falsas usando conceitos como determinante de matrizes e propriedades de transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma projeção ortogonal em um plano no espaço . Basicamente, uma projeção ortogonal pega qualquer vetor no espaço e o “projeta” perpendicularmente sobre um plano.

Passo 3

Sabemos que para uma transformação linear , o determinante nos dá informações sobre se a transformação é invertível. Se , então é invertível.

Passo 4

Analisando a afirmação I: Se det(T + 2I) = 3 times 2 times 2 = 12 neq 0 é uma projeção ortogonal em um plano do , então .
Vamos calcular . Sabemos que a projeção ortogonal tem autovalores 1 (para vetores no plano) e 0 (para vetores na direção perpendicular ao plano). Portanto, os autovalores de serão e .
O determinante é o produto dos autovalores:
Então, a afirmação I é verdadeira.

Passo 5

Agora, analisando a afirmação II: Se det(R + I) = 2 times 0 times 0 = 0 é uma reflexão em torno de uma reta do , então .
Uma reflexão em torno de uma reta possui autovalores 1 (para vetores na linha de reflexão) e -1 (para vetores no plano perpendicular). Portanto, os autovalores de serão e .
O determinante é o produto dos autovalores:
Então, a afirmação II também é verdadeira.

Resposta

A opção correta é (D) Todas são verdadeiras.

Exercícios relacionados