Consideremos as seguintes bases de R^2 :
B=(1,1),(0,-1) e C=(2,-3),(-3,5)
© Determine a matriz de mudança PB C :

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para encontrar a matriz de mudança de base de para em . Isso faz parte do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre mudanças de base e matrizes de transição. Vamos precisar entender como expressar vetores de uma base na outra e montar a matriz que faz essa conversão.

Passo 2

Primeiro, lembro que a matriz de mudança de base transforma coordenadas de um vetor na base para coordenadas na base . Para encontrar essa matriz, precisamos expressar cada vetor da base em termos da base .

Passo 3

Vamos considerar os vetores da base C = c1 = (2, -3), c2 = (-3, 5) :
B = b1 = (1, 1), b2 = (0, -1)
E a base c1 = a b1 + b b2 :
c2 = a b1 + b b2
Queremos encontrar os coeficientes e tais que:

Passo 4

Vamos resolver para (2, -3) = a(1, 1) + b(0, -1) = (a, a) + (0, -b) = (a, a - b) :
a = 2
Isso nos dá o sistema de equações:
a - b = -3
2 - b = -3 implies b = 5
Substituindo na segunda equação:
Então, as coordenadas de na base são .

Passo 5

Agora, vamos resolver para (-3, 5) = a(1, 1) + b(0, -1) = (a, a) + (0, -b) = (a, a - b) :
a = -3
Isso nos dá o sistema de equações:
a - b = 5
-3 - b = 5 implies b = -8
Substituindo na segunda equação:
Então, as coordenadas de na base são .

Passo 6

Agora que temos as coordenadas dos vetores da base PB C = 2 & -3 5 & -8 na base , podemos montar a matriz de mudança de base . Essa matriz tem como colunas as coordenadas encontradas:

Resposta

A matriz de mudança de base PB C = 2 & -3 5 & -8 é:

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