Use o Critério da Razão para estudar a convergência das seguintes séries:
sumn=1^infty (n!)^3(2 n)!n

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que usar o Critério da Razão para verificar se a série infinita
sumn=1^infty (n!)^3(2n)! cdot n
converge ou diverge. O Critério da Razão é uma ferramenta que ajuda a determinar o comportamento de séries infinitas, especialmente aquelas que envolvem fatorial.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Critério da Razão. Ele diz que, para uma série da forma L = limn to infty | an+1an | , se calcularmos o limite:
Então:
  • Se , a série converge absolutamente.
  • Se (ou é infinito), a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
Vamos aplicar isso na nossa série.

Passo 3

Vamos definir an+1 = ((n+1)!)^3(2(n+1))! cdot (n+1) .
Precisamos achar an+1an = ((n+1)!)^3(2n+2)! cdot (n+1) cdot (2n)! cdot n(n!)^3 :
Agora, vamos montar a razão :

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão passo a passo.
Primeiro, lembremos que ((n+1)!)^3 = [(n+1) cdot n!]^3 = (n+1)^3 cdot (n!)^3 , então:
an+1an = (n+1)^3 cdot (n!)^3(2n+2)! cdot (n+1) cdot (2n)! cdot n(n!)^3 = (n+1)^2 cdot (2n)! cdot n(2n+2)!
Substituindo na razão:

Passo 5

Agora, vamos simplificar (2n)!(2n+2)! = 1(2n+1)(2n+2) :
an+1an = (n+1)^2 cdot n cdot 1(2n+1)(2n+2) = n(n+1)^2(2n+1)(2n+2)
Substituindo de volta:

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to infty n(n+1)^2(2n+1)(2n+2) = limn to infty n(n^2 + 2n + 1)4n^2 + 6n + 2 tende ao infinito:
L = limn to infty 1 cdot (1 + 2n + 1n^2)4/n + 6/n^2 + 2/n^3 = 1 cdot 10 = infty
Dividindo numerador e denominador por :

Resposta

Como sumn=1^infty (n!)^3(2n)! cdot n , pelo Critério da Razão, a série
diverge.

Exercícios relacionados

Use o Critério da Comparação pelo Limite para mostrar que a série sumn=1^infty 1n(nn+1)^n é divergente. O Critério da Raiz é conclusivo, neste caso? Justifique.
Calcule o produto nabla . (nabla x f): f(x, y, z) = <sen(x), cos(x - y), z>
SENDO z = (x^2 + y) * e^x DETERMINE
c) x z x + z y
Use o Critério da Raiz para estudar a convergência das seguintes séries:
sumn=1^infty e^nn^n