Use o Critério da Comparação pelo Limite para mostrar que a série sumn=1^infty 1n(nn+1)^n é divergente. O Critério da Raiz é conclusivo, neste caso? Justifique.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos usar o Critério da Comparação pelo Limite para mostrar que a série diverge. Para isso, vamos precisar conhecer como a expressão se comporta quando fica grande.

Passo 2

Vamos analisar o termo . Podemos reescrever isso como . Sabemos que tende para quando vai para o infinito. Portanto, também tende para .

Passo 3

Agora, vamos considerar o termo geral da nossa série: . Como vimos que para grande, podemos aproximar o termo geral por .

Passo 4

Vamos comparar a nossa série com a série harmônica limn to infty 1n(nn+1)^n1n = limn to infty (nn+1)^n = 1e , que sabemos ser divergente. Aplicando o Critério da Comparação pelo Limite, calculamos:
Como é um número positivo finito, o critério nos diz que ambas as séries têm o mesmo comportamento em termos de convergência ou divergência. Como a série harmônica diverge, a nossa série também diverge.

Passo 5

Agora, sobre o Critério da Raiz: ele nos diz que se limn to infty raiz[n]1n(nn+1)^n = limn to infty 1n^1/n cdot nn+1 = 1 cdot 1 = 1 , a série diverge, e se for menor que 1, converge. No nosso caso:
Como o limite é igual a 1, o Critério da Raiz não nos dá uma conclusão definitiva sobre a convergência ou divergência da série.

Resposta

A série é divergente pelo Critério da Comparação pelo Limite. O Critério da Raiz, neste caso, não é conclusivo.

Exercícios relacionados

Calcule o produto nabla . (nabla x f): f(x, y, z) = <sen(x), cos(x - y), z>
SENDO z=f(x, y)=(x^2+y) e^x DETERMINE
a) partial^2 fpartial x partial y
Use o Critério da Razão para estudar a convergência das seguintes séries:
sumn=1^infty (n!)^3(2 n)!n
SENDO z = (x^2 + y) * e^x DETERMINE
c) x z x + z y