Use o Critério da Comparação pelo Limite para mostrar que a série
é divergente. O Critério da Raiz é conclusivo, neste caso? Justifique.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos usar o Critério da Comparação pelo Limite para mostrar que a série
diverge. Para isso, vamos precisar conhecer como a expressão
se comporta quando
fica grande.
Passo 2
Vamos analisar o termo
. Podemos reescrever isso como
. Sabemos que
tende para
quando
vai para o infinito. Portanto,
também tende para
.
Passo 3
Agora, vamos considerar o termo geral da nossa série:
. Como vimos que
para
grande, podemos aproximar o termo geral por
.
Passo 4
Vamos comparar a nossa série com a série harmônica
, que sabemos ser divergente. Aplicando o Critério da Comparação pelo Limite, calculamos:
Como
é um número positivo finito, o critério nos diz que ambas as séries têm o mesmo comportamento em termos de convergência ou divergência. Como a série harmônica diverge, a nossa série também diverge.
Passo 5
Agora, sobre o Critério da Raiz: ele nos diz que se
, a série diverge, e se for menor que 1, converge. No nosso caso:
Como o limite é igual a 1, o Critério da Raiz não nos dá uma conclusão definitiva sobre a convergência ou divergência da série.
Resposta
A série
é divergente pelo Critério da Comparação pelo Limite. O Critério da Raiz, neste caso, não é conclusivo.
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:
SENDO
DETERMINE
a)
a)
Use o Critério da Razão para estudar a convergência das seguintes séries:
SENDO
DETERMINE
c)
c)