Calcule o produto vetorial fundamental
em função de
e
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Precisamos calcular o produto vetorial fundamental dado por
em função de
e
. Isso envolve cálculo vetorial, especificamente derivadas parciais e produtos vetoriais. Para resolver, vamos precisar da parametrização da função vetorial
e entender como calcular o produto vetorial entre vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a função vetorial
. Geralmente, uma função vetorial no espaço tridimensional é parametrizada assim:
Aqui,
,
e
são funções que dão as coordenadas em termos de
e
.
Passo 3
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Essas derivadas representam as taxas de variação da posição vetorial em relação a cada parâmetro.
Passo 4
Com as derivadas parciais em mãos, podemos calcular o produto vetorial entre elas. O produto vetorial de dois vetores
e
é dado por:
Aplicando isso às nossas derivadas parciais, temos:
Resposta
O produto vetorial fundamental é dado por:
Onde
,
, e assim por diante. Essa expressão representa um vetor que é perpendicular à superfície parametrizada por
e é fundamental para diversos cálculos em geometria diferencial, como determinar a área infinitesimal da superfície.
Exercícios relacionados
(Equação Separável)
.
Calcule a seguinte integral usando coordenadas cilíndricas:
onde
é o cone circular reto de altura
, com base circular de raio
no plano
e eixo ao longo do eixo
.
(Equação Separável)
.
Calcule o valor da integral de superfície
de duas formas:
usando a representação vetorial ;
usando a representação vetorial