Calcule o produto vetorial fundamental partial r / partial u times partial r / partial v em função de u e v.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Precisamos calcular o produto vetorial fundamental dado por partial rpartial u times partial rpartial v em função de u e v. Isso envolve cálculo vetorial, especificamente derivadas parciais e produtos vetoriais. Para resolver, vamos precisar da parametrização da função vetorial r(u, v) e entender como calcular o produto vetorial entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função vetorial r(u, v). Geralmente, uma função vetorial no espaço tridimensional é parametrizada assim:
r(u, v) = ( x(u, v), y(u, v), z(u, v) )
Aqui, x(u, v), y(u, v) e z(u, v) são funções que dão as coordenadas em termos de u e v.

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas parciais de r em relação a u e v:
partial rpartial u = ( partial xpartial u, partial ypartial u, partial zpartial u )
partial rpartial v = ( partial xpartial v, partial ypartial v, partial zpartial v )
Essas derivadas representam as taxas de variação da posição vetorial em relação a cada parâmetro.

Passo 4

Com as derivadas parciais em mãos, podemos calcular o produto vetorial entre elas. O produto vetorial de dois vetores A = (Ax, Ay, Az) e B = (Bx, By, Bz) é dado por:
A times B = ( Ay Bz - Az By, Az Bx - Ax Bz, Ax By - Ay Bx )
Aplicando isso às nossas derivadas parciais, temos:
partial rpartial u times partial rpartial v = ( partial ypartial u partial zpartial v - partial zpartial u partial ypartial v, partial zpartial u partial xpartial v - partial xpartial u partial zpartial v, partial xpartial u partial ypartial v - partial ypartial u partial xpartial v )

Resposta

O produto vetorial fundamental é dado por:
partial rpartial u times partial rpartial v = ( yu zv - zu yv, zu xv - xu zv, xu yv - yu xv )
Onde yu = partial ypartial u, zv = partial zpartial v, e assim por diante. Essa expressão representa um vetor que é perpendicular à superfície parametrizada por r(u, v) e é fundamental para diversos cálculos em geometria diferencial, como determinar a área infinitesimal da superfície.

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