Calcule a seguinte integral usando coordenadas cilíndricas:
integral triplaS(y^2+z^2) d x d y d z
onde S é o cone circular reto de altura h, com base circular de raio a no plano x y e eixo ao longo do eixo z.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla:
integral triplaS(y^2+z^2) , dx , dy , dz
onde S é um cone circular reto com altura h, base de raio a no plano xy e eixo ao longo do eixo z. O conteúdo que vamos usar aqui é de coordenadas cilíndricas, que são ótimas para objetos com simetria circular, como esse cone. Precisamos transformar a integral para coordenadas cilíndricas e definir os limites de integração apropriados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter as coordenadas cartesianas (x, y, z) para cilíndricas (r, theta, z):
x = r costheta y = r sintheta z = z
E o diferencial de volume em coordenadas cilíndricas é:
dV = r , dr , dtheta , dz
Agora, vamos reescrever a função integranda y^2 + z^2 em coordenadas cilíndricas:
y^2 = (r sintheta)^2 = r^2 sin^2theta y^2 + z^2 = r^2 sin^2theta + z^2

Passo 3

Vamos determinar os limites de integração para r, theta e z. Como o cone tem altura h e raio a, a relação entre r e z no cone é dada pela razão:
rz = ah Rightarrow r = ah z
Portanto, para cada altura z, r vai de 0 a ah z. O ângulo theta varia de 0 a 2pi para cobrir toda a circunferência, e z varia de 0 a h.

Passo 4

Agora montamos a integral em coordenadas cilíndricas com os limites definidos:
integral triplaS(y^2+z^2) , dx , dy , dz = integral0^2pi integral0^h integral0^ahz (r^2 sin^2theta + z^2) r , dr , dz , dtheta

Passo 5

Vamos resolver a integral interior em r primeiro:
integral0^ahz (r^2 sin^2theta + z^2) r , dr = integral0^ahz r^3 sin^2theta + r z^2 , dr
Integrando termo a termo:
integral r^3 sin^2theta , dr = sin^2theta cdot r^44 gr|0^ahz = sin^2theta cdot (ahz)^44 integral r z^2 , dr = z^2 cdot r^22 gr|0^ahz = z^2 cdot (ahz)^22
Portanto, a integral em r fica:
sin^2theta cdot a^4 z^44 h^4 + a^2 z^42 h^2

Passo 6

Agora, vamos integrar em z:
integral0^h ( a^4 z^44 h^4 sin^2theta + a^2 z^42 h^2 ) , dz = a^4 sin^2theta4 h^4 cdot z^55 gr|0^h + a^22 h^2 cdot z^55 gr|0^h
Calculando os limites:
a^4 sin^2theta4 h^4 cdot h^55 + a^22 h^2 cdot h^55 = a^4 h sin^2theta20 h^4 + a^2 h^310 h^2 = a^4 sin^2theta20 h^3 + a^2 h10

Passo 7

Por fim, integramos em theta:
integral0^2pi ( a^4 sin^2theta20 h^3 + a^2 h10 ) , dtheta = a^420 h^3 integral0^2pi sin^2theta , dtheta + a^2 h10 integral0^2pi dtheta
Sabemos que:
integral0^2pi sin^2theta , dtheta = pi integral0^2pi dtheta = 2pi
Portanto:
a^420 h^3 cdot pi + a^2 h10 cdot 2pi = pi a^420 h^3 + 2pi a^2 h10 = pi a^420 h^3 + pi a^2 h5

Resposta

A integral tripla vale:
integral triplaS(y^2+z^2) , dx , dy , dz = pi a^420 h^3 + pi a^2 h5

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