Calcule a seguinte integral usando coordenadas cilíndricas:
onde é o cone circular reto de altura , com base circular de raio no plano e eixo ao longo do eixo .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla:
onde é um cone circular reto com altura , base de raio no plano e eixo ao longo do eixo . O conteúdo que vamos usar aqui é de coordenadas cilíndricas, que são ótimas para objetos com simetria circular, como esse cone. Precisamos transformar a integral para coordenadas cilíndricas e definir os limites de integração apropriados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter as coordenadas cartesianas para cilíndricas :
E o diferencial de volume em coordenadas cilíndricas é:
Agora, vamos reescrever a função integranda em coordenadas cilíndricas:
Passo 3
Vamos determinar os limites de integração para , e . Como o cone tem altura e raio , a relação entre e no cone é dada pela razão:
Portanto, para cada altura , vai de a . O ângulo varia de a para cobrir toda a circunferência, e varia de a .
Passo 4
Agora montamos a integral em coordenadas cilíndricas com os limites definidos: