(Equação Separável)
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver a equação diferencial separável
. Isso pertence ao conteúdo de equações diferenciais, especificamente as equações separáveis. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis
e
e então integrar ambos os lados.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar os termos com
de um lado e os termos com
do outro. A equação original é:
Vamos isolar
e
:
Passo 3
Agora, para separar as variáveis, dividimos ambos os lados por
:
Dessa forma, temos
de um lado e
do outro, prontos para integrar.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados. A esquerda fica:
E a direita:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Resolvendo a integral da esquerda, fazemos uma substituição simples. Seja
, então
, ou seja,
. Então:
Passo 6
Igualando as duas integrais:
Podemos multiplicar ambos os lados por 5 para simplificar:
Onde
ainda é uma constante.
Passo 7
Para resolver para
, exponenciamos ambos os lados:
Como
é uma constante, podemos chamar de
:
Passo 8
Finalmente, isolamos
:
Podemos renomear
como uma nova constante
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante determinada pelas condições iniciais.
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em função de
e
.
(Equação Separável)
.
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usando a representação vetorial ;
usando a representação vetorial
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.