(Equação Separável) d y/d t = 3 + 5 y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver a equação diferencial separável . Isso pertence ao conteúdo de equações diferenciais, especificamente as equações separáveis. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e e então integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar os termos com de um lado e os termos com do outro. A equação original é:
Vamos isolar e :

Passo 3

Agora, para separar as variáveis, dividimos ambos os lados por :
Dessa forma, temos de um lado e do outro, prontos para integrar.

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados. A esquerda fica:
E a direita:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Resolvendo a integral da esquerda, fazemos uma substituição simples. Seja , então , ou seja, . Então:

Passo 6

Igualando as duas integrais:
Podemos multiplicar ambos os lados por 5 para simplificar:
Onde ainda é uma constante.

Passo 7

Para resolver para , exponenciamos ambos os lados:
Como é uma constante, podemos chamar de :

Passo 8

Finalmente, isolamos :
Podemos renomear como uma nova constante :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante determinada pelas condições iniciais.

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