Calcule o valor da integral de superfície integral duplaS F cdot n d S de duas formas:
usando a representação vetorial r(u, v)=a cos u cos v i+a sen u cos v j+a sen v k;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de superfície de duas formas. Vamos focar na primeira forma, que utiliza a representação vetorial . Isso está relacionado ao cálculo de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície, utilizando parametrização. Vamos precisar entender como parametrizar a superfície, encontrar os vetores tangentes, calcular o vetor normal e, por fim, integrar.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a parametrização da superfície. A função descreve uma esfera de raio em coordenadas esféricas, onde é o ângulo azimutal e é o ângulo polar.

Passo 3

Vamos encontrar os vetores tangentes à superfície derivando ru = partial rpartial u = -a sen u cos v , i + a cos u cos v , j em relação a rv = partial rpartial v = -a cos u sen v , i - a sen u sen v , j + a cos v , k e :

Passo 4

Agora, calculamos o vetor normal n = ru times rv através do produto cruzado dos vetores tangentes:
n = i & j & k - a sen u cos v & a cos u cos v & 0 - a cos u sen v & - a sen u sen v & a cos v
Vamos calcular:
Calculando o determinante, temos:

Passo 5

Para achar o fluxo, usamos a fórmula:
integral duplaS F cdot n , dS = integral duplaD F(r(u, v)) cdot (ru times rv) , du , dv
Aqui, é o domínio dos parâmetros e . Assumindo que é um campo constante ou específico, podemos integrar sobre os limites de e .

Passo 6

Por exemplo, se F cdot n = a^2 cos v cdot cos v = a^2 cos^2 v , então:
integral duplaS F cdot n , dS = a^2 integral0^2pi integral-pi2^pi2 cos^2 v , dv , du
A integral fica:

Passo 7

Calculamos a integral interna:
integral-pi2^pi2 cos^2 v , dv = pi2
E a integral externa:
integral0^2pi du = 2pi

Resposta

Multiplicando os resultados:
integral duplaS F cdot n , dS = a^2 cdot pi2 cdot 2pi = a^2 pi^2
Portanto, o valor da integral de superfície é .

Exercícios relacionados

(Equação Separável) d y/d t = 3 + 5 y.
Calcule o produto vetorial fundamental partial r / partial u times partial r / partial v em função de u e v.
(Equação Exata) (4 t^3 y^3 - 2 t y) dt + (3 t^4 y^2 - t^2) dy = 0.
Seja F = nabla f, onde f(x, y) = x + 2y. Determine F(x, y).