Calcule o valor da integral de superfície
de duas formas:
usando a representação vetorial
;
usando a representação vetorial
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de superfície
de duas formas. Vamos focar na primeira forma, que utiliza a representação vetorial . Isso está relacionado ao cálculo de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície, utilizando parametrização. Vamos precisar entender como parametrizar a superfície, encontrar os vetores tangentes, calcular o vetor normal e, por fim, integrar.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a parametrização da superfície. A função
descreve uma esfera de raio
em coordenadas esféricas, onde
é o ângulo azimutal e
é o ângulo polar.
Passo 3
Vamos encontrar os vetores tangentes à superfície derivando
em relação a
e
:
Passo 4
Agora, calculamos o vetor normal
através do produto cruzado dos vetores tangentes:
Vamos calcular:
Calculando o determinante, temos:
Passo 5
Para achar o fluxo, usamos a fórmula:
Aqui,
é o domínio dos parâmetros
e
. Assumindo que
é um campo constante ou específico, podemos integrar sobre os limites de
e
.
Passo 6
Por exemplo, se
, então:
A integral fica:
Passo 7
Calculamos a integral interna:
E a integral externa:
Resposta
Multiplicando os resultados:
Portanto, o valor da integral de superfície é
.
Exercícios relacionados
(Equação Separável)
.
Calcule o produto vetorial fundamental
em função de
e
.
(Equação Exata)
.
Seja
, onde
. Determine
.