Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular vários produtos entre vetores: produto escalar, produto vetorial, produto misto e alguns mais complexos. Vamos precisar entender como fazer cada um desses cálculos usando as coordenadas dos vetores fornecidos. Primeiro, vamos anotar os vetores que temos:
Passo 2
Vamos começar com o produto escalar entre e , que é encontrado multiplicando as componentes correspondentes e somando os resultados. A fórmula é:
Aplicando os valores:
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto escalar entre e . Usamos a mesma fórmula:
Substituindo os valores:
Passo 4
Vamos para o produto vetorial entre e . O produto vetorial de dois vetores resulta em um novo vetor perpendicular aos dois. A fórmula é:
Calculando o determinante:
= imath(1) - jmath(10) + k(-4)
= imath - 10jmath - 4k
Passo 5
Vamos calcular o produto vetorial entre a times c = imath & jmath & k 2 & 1 & -2 1 & 2 & -1 e a times c = imath(1 cdot (-1) - (-2) cdot 2) - jmath(2 cdot (-1) - (-2) cdot 1) + k(2 cdot 2 - 1 cdot 1) usando a mesma abordagem:
= imath(-1 + 4) - jmath(-2 + 2) + k(4 - 1)
Calculando o determinante:
= imath(3) - jmath(0) + k(3)
= 3imath + 3k
Passo 6
Agora, vamos ao produto misto [a, b, c] = a cdot (b times c) , que é dado pelo produto escalar de b times c = imath & jmath & k 2 & -1 & 3 1 & 2 & -1 com o produto vetorial de = imath((-1)(-1) - 3 cdot 2) - jmath(2 cdot (-1) - 3 cdot 1) + k(2 cdot 2 - (-1) cdot 1) e = imath(1 - 6) - jmath(-2 - 3) + k(4 + 1) :
= -5imath + 5jmath + 5k
Primeiro, vamos calcular a cdot (b times c) = (2)(-5) + (1)(5) + (-2)(5) = -10 + 5 - 10 = -15 :
Agora, fazemos o produto escalar com :
Passo 7
Vamos calcular a times b = imath - 10jmath - 4k . Primeiro, já temos:
a times c = 3imath + 3k
(a times b) times (a times c) = imath & jmath & k 1 & -10 & -4 3 & 0 & 3
Agora, calculamos o produto vetorial entre esses dois vetores:
Por fim, vamos calcular o produto escalar (a times b) cdot (a times c) = (1)(3) + (-10)(0) + (-4)(3) = 3 + 0 - 12 = -9 . Usamos a fórmula do produto escalar:
Resposta
Os resultados dos produtos são:
a cdot b = -3, b cdot c = -3, a times b = imath - 10jmath - 4k, a times c = 3imath + 3k
[a, b, c] = -15, (a times b) times (a times c) = -30imath - 15jmath + 30k, (a times b) cdot (a times c) = -9