Calcule os produtos a cdot b, b cdot c, a times b, a times c,[a, b, c],(a times b) times(a times c) e(a times b). (a times c) quando a=2 imath+jmath-2 widehatk, b=2 imath-jmath+3 k e b=imath+2 jmath-k.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular vários produtos entre vetores: produto escalar, produto vetorial, produto misto e alguns mais complexos. Vamos precisar entender como fazer cada um desses cálculos usando as coordenadas dos vetores fornecidos. Primeiro, vamos anotar os vetores que temos:
a = 2 imath + jmath - 2 k
b = 2 imath - jmath + 3 k
c = imath + 2 jmath - k

Passo 2

Vamos começar com o produto escalar entre a cdot b = ax bx + ay by + az bz e a cdot b = (2)(2) + (1)(-1) + (-2)(3) = 4 - 1 - 6 = -3 , que é encontrado multiplicando as componentes correspondentes e somando os resultados. A fórmula é:
Aplicando os valores:

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar entre b cdot c = bx cx + by cy + bz cz e b cdot c = (2)(1) + (-1)(2) + (3)(-1) = 2 - 2 - 3 = -3 . Usamos a mesma fórmula:
Substituindo os valores:

Passo 4

Vamos para o produto vetorial entre a times b = imath & jmath & k ax & ay & az bx & by & bz e a times b = imath(1 cdot 3 - (-2) cdot (-1)) - jmath(2 cdot 3 - (-2) cdot 2) + k(2 cdot (-1) - 1 cdot 2) . O produto vetorial de dois vetores resulta em um novo vetor perpendicular aos dois. A fórmula é:
= imath(3 - 2) - jmath(6 - (-4)) + k(-2 - 2)
Calculando o determinante:
= imath(1) - jmath(10) + k(-4)
= imath - 10jmath - 4k

Passo 5

Vamos calcular o produto vetorial entre a times c = imath & jmath & k 2 & 1 & -2 1 & 2 & -1 e a times c = imath(1 cdot (-1) - (-2) cdot 2) - jmath(2 cdot (-1) - (-2) cdot 1) + k(2 cdot 2 - 1 cdot 1) usando a mesma abordagem:
= imath(-1 + 4) - jmath(-2 + 2) + k(4 - 1)
Calculando o determinante:
= imath(3) - jmath(0) + k(3)
= 3imath + 3k

Passo 6

Agora, vamos ao produto misto [a, b, c] = a cdot (b times c) , que é dado pelo produto escalar de b times c = imath & jmath & k 2 & -1 & 3 1 & 2 & -1 com o produto vetorial de = imath((-1)(-1) - 3 cdot 2) - jmath(2 cdot (-1) - 3 cdot 1) + k(2 cdot 2 - (-1) cdot 1) e = imath(1 - 6) - jmath(-2 - 3) + k(4 + 1) :
= -5imath + 5jmath + 5k
Primeiro, vamos calcular a cdot (b times c) = (2)(-5) + (1)(5) + (-2)(5) = -10 + 5 - 10 = -15 :
Agora, fazemos o produto escalar com :

Passo 7

Vamos calcular a times b = imath - 10jmath - 4k . Primeiro, já temos:
a times c = 3imath + 3k
(a times b) times (a times c) = imath & jmath & k 1 & -10 & -4 3 & 0 & 3
Agora, calculamos o produto vetorial entre esses dois vetores:
= imath((-10)(3) - (-4)(0)) - jmath(1 cdot 3 - (-4) cdot 3) + k(1 cdot 0 - (-10) cdot 3)
= imath(-30 - 0) - jmath(3 + 12) + k(0 + 30)
= -30imath - 15jmath + 30k

Passo 8

Por fim, vamos calcular o produto escalar (a times b) cdot (a times c) = (1)(3) + (-10)(0) + (-4)(3) = 3 + 0 - 12 = -9 . Usamos a fórmula do produto escalar:

Resposta

Os resultados dos produtos são:
a cdot b = -3, b cdot c = -3, a times b = imath - 10jmath - 4k, a times c = 3imath + 3k
[a, b, c] = -15, (a times b) times (a times c) = -30imath - 15jmath + 30k, (a times b) cdot (a times c) = -9

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