Classifique cada afirmação em Verdadeiro ou Falso (se falso, mostre por meio de exemplo; se verdadeiro, prove.
(b) Se , e então .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a afirmação "Se e , então " é verdadeira ou falsa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como determinantes e propriedades de matrizes idempotentes (matrizes que satisfazem ).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que, quando você multiplica a matriz por ela mesma, o resultado é a própria matriz . Tais matrizes são chamadas de idempotentes.
Agora, vamos pensar nos valores próprios (autovalores) de . Se , então para qualquer vetor próprio com autovalor , temos:
Mas também sabemos que . Então, temos:
Isso implica que , ou seja, . Portanto, os únicos autovalores possíveis são ou .
Se , então pelo menos um dos autovalores de é diferente de 1, ou seja, existe pelo menos um . O determinante de uma matriz é igual ao produto de seus autovalores. Se um dos autovalores é 0, então: