Classifique cada afirmação em Verdadeiro ou Falso (se falso, mostre por meio de exemplo; se verdadeiro, prove.
(b) Se
, e
então
.
(b) Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a afirmação "Se
e
, então
" é verdadeira ou falsa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como determinantes e propriedades de matrizes idempotentes (matrizes que satisfazem
).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que, quando você multiplica a matriz
por ela mesma, o resultado é a própria matriz
. Tais matrizes são chamadas de idempotentes.
Agora, vamos pensar nos valores próprios (autovalores) de
. Se
, então para qualquer vetor próprio
com autovalor
, temos:
Mas também sabemos que
. Então, temos:
Isso implica que
, ou seja,
. Portanto, os únicos autovalores possíveis são
ou
.
Se
, então pelo menos um dos autovalores de
é diferente de 1, ou seja, existe pelo menos um
. O determinante de uma matriz é igual ao produto de seus autovalores. Se um dos autovalores é 0, então:
Resposta
Verdadeiro. Se
e
, então
.