Classifique cada afirmação em Verdadeiro ou Falso (se falso, mostre por meio de exemplo; se verdadeiro, prove.
(b) Se A^2=A, e A neq In então det(A)=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a afirmação "Se e , então " é verdadeira ou falsa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como determinantes e propriedades de matrizes idempotentes (matrizes que satisfazem ).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa A^2v = A(Av) = A(lambda v) = lambda (Av) = lambda (lambda v) = lambda^2 v . Isso quer dizer que, quando você multiplica a matriz lambda^2 v = lambda v por ela mesma, o resultado é a própria matriz det(A) = lambda1 times lambda2 times dots times lambdan = 0 . Tais matrizes são chamadas de idempotentes.
Agora, vamos pensar nos valores próprios (autovalores) de . Se , então para qualquer vetor próprio com autovalor , temos:
Mas também sabemos que . Então, temos:
Isso implica que , ou seja, . Portanto, os únicos autovalores possíveis são ou .
Se , então pelo menos um dos autovalores de é diferente de 1, ou seja, existe pelo menos um . O determinante de uma matriz é igual ao produto de seus autovalores. Se um dos autovalores é 0, então:

Resposta

Verdadeiro. Se e , então .

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