QUESTÃO 2 - Determine a equação reduzida do plano que contém os pontos A= (2,-1,6) e B=(1,-2,4) e é perpendicular ao plano pi : x-2 y-2 z+9=0.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a equação reduzida de um plano que contém os pontos e , e que é perpendicular ao plano . Aqui, vamos trabalhar com geometria analítica no espaço tridimensional. Precisamos entender como encontrar a equação de um plano usando vetores normais e entender o conceito de planos perpendiculares.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vetor que está no plano que queremos encontrar. Como o plano contém os pontos AB = B - A = (1 - 2, -2 - (-1), 4 - 6) = (-1, -1, -2) e , podemos calcular o vetor que vai de para .

Passo 3

Agora, sabemos que o plano que estamos procurando é perpendicular ao plano . O vetor normal do plano é dado pelos coeficientes de , e na equação do plano, ou seja, .

Passo 4

Como o plano que buscamos é perpendicular ao plano n = AB times npi = i & j & k -1 & -1 & -2 1 & -2 & -2 , o vetor normal do nosso plano procurado ( ) deve ser perpendicular ao vetor normal de , , e também deve ser ortogonal ao vetor que está no plano. Portanto, para encontrar , podemos calcular o produto vetorial entre e :

Passo 5

Calculando o determinante:
n = i((-1)(-2) - (-2)(-2)) - j((-1)(-2) - (-2)(1)) + k((-1)(-2) - (-1)(1))
n = i(2 - 4) - j(2 - (-2)) + k(2 - (-1))
n = i(-2) - j(4) + k(3)
n = (-2, -4, 3)

Passo 6

Agora que temos o vetor normal n cdot (X - A) = 0 e um ponto no plano, por exemplo, o ponto , podemos usar a equação geral do plano:
Onde é um ponto genérico no plano.

Passo 7

Substituindo os valores:
-2(x - 2) -4(y + 1) + 3(z - 6) = 0
Expandindo:
-2x + 4 -4y -4 +3z -18 = 0
Simplificando:
-2x -4y +3z -18 = 0

Passo 8

Para deixar na forma reduzida, podemos dividir todos os termos por um fator comum, se houver. Neste caso, não há um fator comum além de 1, então a equação reduzida do plano é:
-2x -4y +3z = 18

Resposta

A equação reduzida do plano é .

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