QUESTÃO 2 - Determine a equação reduzida do plano que contém os pontos e e é perpendicular ao plano : .

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a equação reduzida de um plano que contém os pontos e , e que é perpendicular ao plano . Aqui, vamos trabalhar com geometria analítica no espaço tridimensional. Precisamos entender como encontrar a equação de um plano usando vetores normais e entender o conceito de planos perpendiculares.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vetor que está no plano que queremos encontrar. Como o plano contém os pontos e , podemos calcular o vetor que vai de para .

Passo 3

Agora, sabemos que o plano que estamos procurando é perpendicular ao plano . O vetor normal do plano é dado pelos coeficientes de , e na equação do plano, ou seja, .

Passo 4

Como o plano que buscamos é perpendicular ao plano , o vetor normal do nosso plano procurado ( ) deve ser perpendicular ao vetor normal de , , e também deve ser ortogonal ao vetor que está no plano. Portanto, para encontrar , podemos calcular o produto vetorial entre e :

Passo 5

Calculando o determinante:

Passo 6

Agora que temos o vetor normal e um ponto no plano, por exemplo, o ponto , podemos usar a equação geral do plano:
Onde é um ponto genérico no plano.

Passo 7

Substituindo os valores:
Expandindo:
Simplificando:

Passo 8

Para deixar na forma reduzida, podemos dividir todos os termos por um fator comum, se houver. Neste caso, não há um fator comum além de 1, então a equação reduzida do plano é:

Resposta

A equação reduzida do plano é .

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