QUESTÃO 2 - Determine a equação reduzida do plano que contém os pontos e e é perpendicular ao plano : .
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a equação reduzida de um plano que contém os pontos e , e que é perpendicular ao plano . Aqui, vamos trabalhar com geometria analítica no espaço tridimensional. Precisamos entender como encontrar a equação de um plano usando vetores normais e entender o conceito de planos perpendiculares.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o vetor que está no plano que queremos encontrar. Como o plano contém os pontos e , podemos calcular o vetor que vai de para .
Passo 3
Agora, sabemos que o plano que estamos procurando é perpendicular ao plano . O vetor normal do plano é dado pelos coeficientes de , e na equação do plano, ou seja, .
Passo 4
Como o plano que buscamos é perpendicular ao plano , o vetor normal do nosso plano procurado () deve ser perpendicular ao vetor normal de , , e também deve ser ortogonal ao vetor que está no plano. Portanto, para encontrar , podemos calcular o produto vetorial entre e :
Passo 5
Calculando o determinante:
Passo 6
Agora que temos o vetor normal e um ponto no plano, por exemplo, o ponto , podemos usar a equação geral do plano:
Onde é um ponto genérico no plano.
Passo 7
Substituindo os valores:
Expandindo:
Simplificando:
Passo 8
Para deixar na forma reduzida, podemos dividir todos os termos por um fator comum, se houver. Neste caso, não há um fator comum além de 1, então a equação reduzida do plano é: