Calcule a projeção ortogonal de barv=(1,-1,2) sobre barv=(3,-1,1) e o ângulo que o veto projeção faz com o vetor bari.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a projeção ortogonal do vetor barv = (1, -1, 2) sobre o vetor baru = (3, -1, 1) e também descobrir o ângulo que essa projeção faz com o vetor bari = (1, 0, 0).
Então, estamos trabalhando com projeção vetorial e cálculo de ângulos entre vetores. Para resolver isso, vamos precisar usar fórmulas de projeção ortogonal e a fórmula do produto escalar para encontrar o ângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a projeção ortogonal do vetor barv sobre o vetor baru. A fórmula para a projeção de barv em baru é:
projbaru barv = ( barv cdot barubaru cdot baru ) baru
Aqui, “ cdot” representa o produto escalar entre dois vetores.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar barv cdot baru:
barv cdot baru = (1)(3) + (-1)(-1) + (2)(1) = 3 + 1 + 2 = 6

Passo 4

Agora, calculamos o produto escalar baru cdot baru:
baru cdot baru = (3)^2 + (-1)^2 + (1)^2 = 9 + 1 + 1 = 11

Passo 5

Com esses resultados, podemos encontrar a projeção:
projbaru barv = ( 611 ) baru = ( 611 ) (3, -1, 1) = ( 1811, -611, 611 )

Passo 6

Agora, vamos encontrar o ângulo entre a projeção projbaru barv e o vetor bari = (1, 0, 0). Para isso, usamos a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:
costheta = bara cdot barb|bara| , |barb|
Onde bara = projbaru barv e barb = bari.

Passo 7

Primeiro, calculamos o produto escalar bara cdot barb:
bara cdot barb = ( 1811 )(1) + ( -611 )(0) + ( 611 )(0) = 1811

Passo 8

Agora, calculamos as normas dos vetores bara e barb:
|bara| = raiz( 1811 )^2 + ( -611 )^2 + ( 611 )^2 = raiz324121 + 36121 + 36121 = raiz396121 = raiz39611 = 6raiz1111
|barb| = |bari| = raiz1^2 + 0^2 + 0^2 = 1

Passo 9

Agora, aplicamos a fórmula do cosseno:
costheta = 18116raiz1111 times 1 = 1811 div 6raiz1111 = 1811 times 116raiz11 = 186raiz11 = 3raiz11
Para encontrar o ângulo theta, usamos a função arco cosseno:
theta = arccos( 3raiz11 )

Resposta

A projeção ortogonal de barv=(1,-1,2) sobre baru=(3,-1,1) é ( 1811, -611, 611 ). O ângulo que essa projeção faz com o vetor bari=(1,0,0) é theta = arccos( 3raiz11 ), aproximadamente 0,955 radianos ou 54,66^circ.

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