Calcule a projeção ortogonal de
sobre
e
ângulo que
veto projeção faz com o vetor
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a projeção ortogonal do vetor
sobre o vetor
e também descobrir o ângulo que essa projeção faz com o vetor
.
Então, estamos trabalhando com projeção vetorial e cálculo de ângulos entre vetores. Para resolver isso, vamos precisar usar fórmulas de projeção ortogonal e a fórmula do produto escalar para encontrar o ângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a projeção ortogonal do vetor
sobre o vetor
. A fórmula para a projeção de
em
é:
Aqui, “
” representa o produto escalar entre dois vetores.
Passo 3
Vamos calcular o produto escalar
:
Passo 4
Agora, calculamos o produto escalar
:
Passo 5
Com esses resultados, podemos encontrar a projeção:
Passo 6
Agora, vamos encontrar o ângulo entre a projeção
e o vetor
. Para isso, usamos a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:
Onde
e
.
Passo 7
Primeiro, calculamos o produto escalar
:
Passo 8
Agora, calculamos as normas dos vetores
e
:
Passo 9
Agora, aplicamos a fórmula do cosseno:
Para encontrar o ângulo
, usamos a função arco cosseno:
Resposta
A projeção ortogonal de
sobre
é
. O ângulo que essa projeção faz com o vetor
é
, aproximadamente
radianos ou
.