Calcule, usando a eliminação de Gauss-Jordan, as inversas das seguintes matrizes (se existir). (i=raiz-1).
(e) (ccc4 & 0 & 1 -1 & 2 & 0 3 & 1 & 0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a matriz inversa usando a eliminação de Gauss-Jordan. Esse processo envolve manipular a matriz original até transformá-la na matriz identidade, fazendo as mesmas operações na parte da direita para acabar com a inversa. Se conseguirmos transformar a matriz original na identidade, a parte que conseguirmos formar estará sendo a inversa que a gente quer.

Passo 2

Primeiro, vamos montar uma matriz aumentada que combina a matriz original com a matriz identidade. A matriz que a gente tem é:
4 & 0 & 1 -1 & 2 & 0 3 & 1 & 0
E a matriz identidade de 3x3 é:
1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
Então, a matriz aumentada fica assim:
[ccc|ccc 4 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 -1 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 3 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 3

Agora, vamos começar a eliminar os elementos abaixo e acima da diagonal principal para transformar o lado esquerdo na identidade.
Primeiro, vamos normalizar a primeira linha dividindo tudo por 4, para que o primeiro elemento seja 1.
[ccc|ccc 1 & 0 & 14 & 14 & 0 & 0 -1 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 3 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 4

Em seguida, vamos zerar os elementos abaixo do 1 na primeira coluna. Para isso:
  • Linha 2: Adicionar a linha 1 à linha 2.
  • Linha 3: Subtrair 3 vezes a linha 1 da linha 3.
Após essas operações, a matriz fica:
[ccc|ccc 1 & 0 & 14 & 14 & 0 & 0 0 & 2 & 14 & 14 & 1 & 0 0 & 1 & -34 & -34 & 0 & 1 ]

Passo 5

Agora, vamos normalizar a segunda linha dividindo tudo por 2, para que o segundo elemento da segunda linha seja 1.
[ccc|ccc 1 & 0 & 14 & 14 & 0 & 0 0 & 1 & 18 & 18 & 12 & 0 0 & 1 & -34 & -34 & 0 & 1 ]

Passo 6

Vamos zerar o elemento abaixo do 1 na segunda coluna na linha 3. Para isso, subtraímos a linha 2 da linha 3:
[ccc|ccc 1 & 0 & 14 & 14 & 0 & 0 0 & 1 & 18 & 18 & 12 & 0 0 & 0 & -78 & -78 & -12 & 1 ]

Passo 7

Agora, vamos normalizar a terceira linha multiplicando tudo por -87, para que o terceiro elemento seja 1.
[ccc|ccc 1 & 0 & 14 & 14 & 0 & 0 0 & 1 & 18 & 18 & 12 & 0 0 & 0 & 1 & 1 & 47 & -87 ]

Passo 8

Agora, vamos zerar os elementos acima do 1 na terceira coluna:
  • Linha 1: Subtrair 14 vezes a linha 3 da linha 1.
  • Linha 2: Subtrair 18 vezes a linha 3 da linha 2.
Após essas operações, a matriz se transforma em:
[ccc|ccc 1 & 0 & 0 & 0 & -17 & 27 0 & 1 & 0 & -18 & 37 & 17 0 & 0 & 1 & 1 & 47 & -87 ]

Resposta

Portanto, a matriz inversa é:
0 & -17 & 27 -18 & 37 & 17 1 & 47 & -87

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