Escreva a equação reduzida das seguintes elipses, dados:
b) o centro (0,0), um dos focos (0,-raiz40), e um ponto (raiz5, 4 / 3) da elipse.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma elipse com centro na origem (0,0), um dos focos em (0, -raiz40) e passa pelo ponto (raiz5, 43). A gente precisa encontrar a equação reduzida dessa elipse. Vamos usar a fórmula padrão da elipse e algumas propriedades dos focos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação padrão da elipse centrada na origem:
x^2a^2 + y^2b^2 = 1
Aqui, c^2 = a^2 - b^2 é o semieixo maior e (0, -raiz40) é o semieixo menor. Além disso, a relação entre , e a distância dos focos é:
Como temos um foco em , significa que .

Passo 3

Sabemos que 40 = a^2 - b^2 Rightarrow a^2 = b^2 + 40 , então substituindo na relação entre e :
Agora temos uma equação em termos de e .

Passo 4

Vamos usar o ponto dado (raiz5, 43) que está na elipse para encontrar outra relação entre (raiz5)^2a^2 + (43)^2b^2 = 1 e 5a^2 + 16/9b^2 = 1 . Substituindo na equação padrão:
Simplificando:

Passo 5

Agora temos duas equações:
a^2 = b^2 + 40 5a^2 + 169b^2 = 1
Substituímos 5b^2 + 40 + 169b^2 = 1 da primeira equação na segunda:

Passo 6

Para resolver essa equação, vamos encontrar um denominador comum:
5 cdot 9b^2 + 16(b^2 + 40)9b^2(b^2 + 40) = 1
Simplificando o numerador:
45b^2 + 16b^2 + 640 = 9b^2(b^2 + 40)
61b^2 + 640 = 9b^4 + 360b^2

Passo 7

Organizando a equação:
9b^4 + 360b^2 - 61b^2 - 640 = 0
9b^4 + 299b^2 - 640 = 0
Essa é uma equação quadrática em termos de . Vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara.

Passo 8

Considerando 9u^2 + 299u - 640 = 0 , a equação fica:
u = -299 pm raiz299^2 - 4 cdot 9 cdot (-640)2 cdot 9
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
raiz89401 + 23040 = raiz112441 = 335
Calculando o discriminante:
u = -299 pm 33518
Então:
u = 3618 = 2 Rightarrow b^2 = 2
Somente a solução positiva faz sentido para :

Passo 9

Agora que temos a^2 = 2 + 40 = 42 , voltamos na relação :

Passo 10

Com x^242 + y^22 = 1 e , substituímos na equação padrão da elipse:

Resposta

A equação reduzida da elipse é:
x^242 + y^22 = 1

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