Escreva a equação reduzida das seguintes elipses, dados:
b) o centro
, um dos focos
, e um ponto
da elipse.
b) o centro
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma elipse com centro na origem
, um dos focos em
e passa pelo ponto
. A gente precisa encontrar a equação reduzida dessa elipse. Vamos usar a fórmula padrão da elipse e algumas propriedades dos focos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação padrão da elipse centrada na origem:
Aqui,
é o semieixo maior e
é o semieixo menor. Além disso, a relação entre
,
e a distância dos focos
é:
Como temos um foco em
, significa que
.
Passo 3
Sabemos que
, então substituindo na relação entre
e
:
Agora temos uma equação em termos de
e
.
Passo 4
Vamos usar o ponto dado
que está na elipse para encontrar outra relação entre
e
. Substituindo na equação padrão:
Simplificando:
Passo 5
Agora temos duas equações:
Substituímos
da primeira equação na segunda:
Passo 6
Para resolver essa equação, vamos encontrar um denominador comum:
Simplificando o numerador:
Passo 7
Organizando a equação:
Essa é uma equação quadrática em termos de
. Vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara.
Passo 8
Considerando
, a equação fica:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante:
Então:
Somente a solução positiva faz sentido para
:
Passo 9
Agora que temos
, voltamos na relação
:
Passo 10
Com
e
, substituímos na equação padrão da elipse:
Resposta
A equação reduzida da elipse é: