Calcule a projeção ortogonal de [l1 7] sobre a reta contendo [r-4 2] e a origem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a projeção ortogonal do vetor 1 7 sobre a reta que passa pelo vetor -4 2 e pela origem. Esse problema está relacionado com o conteúdo de Álgebra Linear, especificamente com projeções de vetores. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da projeção de um vetor sobre outro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a projeção de um vetor projv,u = ( u cdot vv cdot v ) v sobre um vetor . A fórmula é:
Aqui, representa o produto interno (ou escalar) dos vetores e , e é o produto interno de consigo mesmo, que na verdade é o quadrado da norma de .

Passo 3

Vamos identificar os vetores no problema:
u = 1 7, v = -4 2
Agora, vamos calcular o produto interno u cdot v = (1)(-4) + (7)(2) = -4 + 14 = 10 :

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o produto interno v cdot v = (-4)^2 + (2)^2 = 16 + 4 = 20 :

Passo 5

Agora, substituímos esses valores na fórmula da projeção:
projv,u = ( 1020 ) -4 2 = ( 12 ) -4 2

Passo 6

Multiplicando o escalar projv,u = -4 times 12 2 times 12 = -2 1 pelo vetor :

Resposta

A projeção ortogonal de 1 7 sobre a reta que contém -4 2 e a origem é -2 1.

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