Qual é o valor de x para que os vetores a=(3,-x,-2), b=(3,2, x) e c=(1,-3,1) sejam coplanares
RESP: x=14 ou x=-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente precisa encontrar o valor de que faz com que os vetores , e sejam coplanares. Isso está relacionado ao conteúdo de Geometria Analítica e Vetores. Para resolver isso, vamos usar o conceito de Produto Escalar Triplo, que nos ajuda a verificar se três vetores estão no mesmo plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa coplanares. Três vetores são coplanares se eles estiverem todos no mesmo plano, ou seja, se não formarem um paralelepípedo com volume. Matematicamente, isso acontece quando o Produto Escalar Triplo deles é igual a zero.

Passo 3

O Produto Escalar Triplo de três vetores a cdot (b times c) = a1 & a2 & a3 b1 & b2 & b3 c1 & c2 & c3 , 3 & -x & -2 3 & 2 & x 1 & -3 & 1 e é calculado usando o determinante da matriz formada por esses vetores. A fórmula é:
Então, vamos montar essa matriz com os componentes dos vetores:

Passo 4

Agora, vamos calcular esse determinante. Lembre-se que para uma matriz a & b & c d & e & f g & h & i = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) :
3 cdot (2 cdot 1 - x cdot (-3)) - (-x) cdot (3 cdot 1 - x cdot 1) + (-2) cdot (3 cdot (-3) - 2 cdot 1)
Aplicando isso à nossa matriz:
3 cdot (2 cdot 1 - x cdot (-3)) = 3 cdot (2 + 3x) = 6 + 9x
Vamos calcular cada parte:
  1. Primeiro termo:
-(-x) cdot (3 cdot 1 - x cdot 1) = x cdot (3 - x) = 3x - x^2
  1. Segundo termo:
-2 cdot (3 cdot (-3) - 2 cdot 1) = -2 cdot (-9 - 2) = -2 cdot (-11) = 22
  1. Terceiro termo:

Passo 5

Agora, somamos todos os termos:
6 + 9x + 3x - x^2 + 22 = 0
Vamos juntar os termos semelhantes:
- x^2 + 12x + 28 = 0
Multiplicando todos os termos por (-1) para facilitar:
x^2 - 12x - 28 = 0

Passo 6

Agora, temos uma equação quadrática:
x^2 - 12x - 28 = 0
Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde x = -(-12) pm raiz(-12)^2 - 4 cdot 1 cdot (-28)2 cdot 1 = 12 pm raiz144 + 1122 = 12 pm raiz2562 , raiz256 = 16 e x = 12 pm 162 . Substituindo:
Então:
Isso nos dá duas soluções:

Resposta

Os valores de que tornam os vetores coplanares são ou .

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