A matriz R abaixo representa uma rotação em torno de um eixo passando pela origem, em R^3 :
R=145[rrr 35 & -20 & 20 4 & 35 & 28 -28 & -20 & 29 ]
Qual é o cosseno do ângulo de rotação?
Dica: Determine eixo de rotação, uma direção ortogonal ao eixo e determine o ângulo que este vetor é rodado.
(A) 34
(B) -34
© -35
(D) 35
(E) -12
(F) 12
(G) -45
(H) 45
(I) Não sei

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz que representa uma rotação no espaço 3D ( ) em torno de um eixo que passa pela origem. Precisamos encontrar o cosseno do ângulo de rotação dessa matriz. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar o ângulo de rotação a partir de uma matriz de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma matriz de rotação em 3D tem algumas propriedades importantes:
  1. Ortogonality: As colunas (e linhas) da matriz são vetores ortogonais entre si.
  2. Determinante: O determinante de uma matriz de rotação é 1.
  3. Relação com o ângulo de rotação: O traço (a soma dos elementos da diagonal principal) da matriz de rotação está relacionado ao cosseno do ângulo de rotação.

Passo 3

Vamos calcular o traço da matriz Traço(R) = R11 + R22 + R33 . O traço é a soma dos elementos na diagonal principal:
Traço(R) = 3545 + 3545 + 2945 = 35 + 35 + 2945 = 9945 = 115 ç
Substituindo os valores da matriz:
ç
No entanto, esse valor parece estranho porque o traço de uma matriz de rotação em 3D deve estar relacionado a . Vamos verificar se houve algum erro nos cálculos.

Passo 4

Reavaliando o cálculo do traço:
Traço(R) = 3545 + 3545 + 2945 = 35 + 35 + 2945 = 9945 = 115 ç
Percebemos que o valor excede o intervalo esperado para o traço de uma matriz de rotação (que deve ser entre -1 e 3). Isso indica que a matriz dada pode não ser uma matriz de rotação pura ou que houve um erro no enunciado. Contudo, seguindo a dica fornecida, vamos determinar o eixo de rotação.

Passo 5

Para encontrar o eixo de rotação, procuramos um vetor 145[rrr 35 - 45 & -20 & 20 4 & 35 - 45 & 28 -28 & -20 & 29 - 45 ] v = 0 tal que 145[rrr -10 & -20 & 20 4 & -10 & 28 -28 & -20 & -16 ] v = 0 . Isso significa que é um vetor fixo pela rotação, ou seja, está alinhado com o eixo de rotação.
Resolvendo , onde é a matriz identidade:
Simplificando:
Resolvendo esse sistema, encontramos que o eixo de rotação é na direção do vetor .

Passo 6

Agora, escolhemos um vetor que é ortogonal ao eixo de rotação. Vamos escolher Ru = 145[rrr 35 & -20 & 20 4 & 35 & 28 -28 & -20 & 29 ] [c 1 0 0 ] = 145[c 35 4 -28 ] . Queremos ver como esse vetor é transformado pela matriz :
Assim, o vetor é rotacionado para .

Passo 7

Para encontrar o ângulo de rotação cos(theta) = u cdot u'||u|| , ||u'|| , usamos a fórmula do cosseno entre os vetores u cdot u' = 1 cdot 3545 + 0 cdot 445 + 0 cdot -2845 = 3545 = 79 e ||u|| = 1 e ||u'|| = raiz(3545)^2 + (445)^2 + (-2845)^2 = raiz1225 + 16 + 7842025 = raiz20252025 = 1 :
cos(theta) = 79
Calculando o produto escalar:
Os comprimentos dos vetores são:
Então:
Comparando com as opções disponíveis, vemos que nenhuma delas corresponde exatamente a . Entretanto, verificando as opções, a mais próxima é .

Resposta

(A)

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