Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
possui como polinômio característico
e autovalor 6 com multiplicidade geométrica 31 , então
é diagonalizável.
II - Se
é
, então
possui autovetor
.
(A) Todas são verdadeiras.
(B) Todas são falsas.
© Apenas II é verdadeira.
(D) Apenas I é verdadeira.
(E) Não sei
I - Se
II - Se
(A) Todas são verdadeiras.
(B) Todas são falsas.
© Apenas II é verdadeira.
(D) Apenas I é verdadeira.
(E) Não sei
Passo 1
Vamos analisar o exercício que apresenta duas afirmações sobre matrizes e autovalores. O assunto principal aqui é autovalores e diagonalização de matrizes. Para resolver, precisamos entender sobre polinômio característico, multiplicidade geométrica e o que significa uma matriz ser diagonalizável. Além disso, vamos discutir se toda matriz quadrada possui pelo menos um autovetor.
Passo 2
Afirmação I: Temos uma transformação linear
com o polinômio característico
e o autovalor 6 com multiplicidade geométrica 31. Queremos saber se
é diagonalizável.
Para uma matriz ou transformação linear ser diagonalizável, a multiplicidade geométrica de cada autovalor deve ser igual à sua multiplicidade algébrica (o expoente no polinômio característico). No caso:
- O autovalor 6 tem multiplicidade algébrica 31.
- A multiplicidade geométrica também é 31.
Como as multiplicidades geométrica e algébrica são iguais para todos os autovalores, podemos concluir que
é diagonalizável.
Afirmação II: Se
é uma matriz
, então
possui um autovetor
.
Nem toda matriz quadrada possui um autovetor real. Por exemplo, matrizes de rotação em 2D com ângulos que não são múltiplos de 90 graus não possuem autovalores reais, e consequentemente, não possuem autovetores reais. Portanto, a afirmação II nem sempre é verdadeira.
Passo 3
Com base na análise:
- Afirmação I é verdadeira porque a multiplicidade geométrica iguala a algébrica para todos os autovalores, garantindo que
seja diagonalizável. - Afirmação II é falsa porque nem toda matriz quadrada possui autovetores reais.
Resposta
A resposta correta é a opção (D) Apenas I é verdadeira.