Considere as afirmativas abaixo:
I - Se R: R^69 R^69 possui como polinômio característico pc^R(x)=(x-6)^31(x+6)^38 e autovalor 6 com multiplicidade geométrica 31 , então R é diagonalizável.
II - Se B é 48 times 48, então B possui autovetor v in R^48.
(A) Todas são verdadeiras.
(B) Todas são falsas.
© Apenas II é verdadeira.
(D) Apenas I é verdadeira.
(E) Não sei

Passo 1

Vamos analisar o exercício que apresenta duas afirmações sobre matrizes e autovalores. O assunto principal aqui é autovalores e diagonalização de matrizes. Para resolver, precisamos entender sobre polinômio característico, multiplicidade geométrica e o que significa uma matriz ser diagonalizável. Além disso, vamos discutir se toda matriz quadrada possui pelo menos um autovetor.

Passo 2

Afirmação I: Temos uma transformação linear com o polinômio característico e o autovalor 6 com multiplicidade geométrica 31. Queremos saber se é diagonalizável.
Para uma matriz ou transformação linear ser diagonalizável, a multiplicidade geométrica de cada autovalor deve ser igual à sua multiplicidade algébrica (o expoente no polinômio característico). No caso:
  • O autovalor 6 tem multiplicidade algébrica 31.
  • A multiplicidade geométrica também é 31.
Como as multiplicidades geométrica e algébrica são iguais para todos os autovalores, podemos concluir que é diagonalizável.
Afirmação II: Se é uma matriz , então possui um autovetor .
Nem toda matriz quadrada possui um autovetor real. Por exemplo, matrizes de rotação em 2D com ângulos que não são múltiplos de 90 graus não possuem autovalores reais, e consequentemente, não possuem autovetores reais. Portanto, a afirmação II nem sempre é verdadeira.

Passo 3

Com base na análise:
  • Afirmação I é verdadeira porque a multiplicidade geométrica iguala a algébrica para todos os autovalores, garantindo que seja diagonalizável.
  • Afirmação II é falsa porque nem toda matriz quadrada possui autovetores reais.

Resposta

A resposta correta é a opção (D) Apenas I é verdadeira.

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