Vamos analisar o exercício que apresenta duas afirmações sobre matrizes e autovalores. O assunto principal aqui é autovalores e diagonalização de matrizes. Para resolver, precisamos entender sobre polinômio característico, multiplicidade geométrica e o que significa uma matriz ser diagonalizável. Além disso, vamos discutir se toda matriz quadrada possui pelo menos um autovetor.
Passo 2
Afirmação I: Temos uma transformação linear com o polinômio característico e o autovalor 6 com multiplicidade geométrica 31. Queremos saber se é diagonalizável.
Para uma matriz ou transformação linear ser diagonalizável, a multiplicidade geométrica de cada autovalor deve ser igual à sua multiplicidade algébrica (o expoente no polinômio característico). No caso:
O autovalor 6 tem multiplicidade algébrica 31.
A multiplicidade geométrica também é 31.
Como as multiplicidades geométrica e algébrica são iguais para todos os autovalores, podemos concluir que é diagonalizável.
Afirmação II: Se é uma matriz , então possui um autovetor .
Nem toda matriz quadrada possui um autovetor real. Por exemplo, matrizes de rotação em 2D com ângulos que não são múltiplos de 90 graus não possuem autovalores reais, e consequentemente, não possuem autovetores reais. Portanto, a afirmação II nem sempre é verdadeira.
Passo 3
Com base na análise:
Afirmação I é verdadeira porque a multiplicidade geométrica iguala a algébrica para todos os autovalores, garantindo que seja diagonalizável.
Afirmação II é falsa porque nem toda matriz quadrada possui autovetores reais.
Resposta
A resposta correta é a opção (D) Apenas I é verdadeira.