Calcule a projeção ortogonal de u sobre v quando u=(1, 0,0) e v=(-1,0,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a projeção ortogonal do vetor u sobre o vetor v. Aqui, u = (1, 0, 0) e v = (-1, 0, 0). A projeção ortogonal é basicamente “jogar” um vetor sobre o outro de forma perpendiculaire, e para isso, vamos precisar usar algumas fórmulas de álgebra vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da projeção ortogonal de u sobre v, que é dada por:
projv u = ( u cdot v|v|^2 ) v
Aqui, u cdot v representa o produto escalar entre os vetores, e |v| é a magnitude (ou comprimento) do vetor v.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar u cdot v. O produto escalar de dois vetores (u1, u2, u3) e (v1, v2, v3) é:
u cdot v = u1v1 + u2v2 + u3v3
Substituindo os valores:
u cdot v = (1)(-1) + (0)(0) + (0)(0) = -1

Passo 4

Agora, vamos calcular a magnitude de v ao quadrado, |v|^2. A magnitude de um vetor (v1, v2, v3) é:
|v| = raizv1^2 + v2^2 + v3^2
Então,
|v|^2 = (-1)^2 + 0^2 + 0^2 = 1 + 0 + 0 = 1

Passo 5

Com os valores calculados, vamos substituir na fórmula da projeção:
projv u = ( -11 ) v = -1 cdot (-1, 0, 0) = (1, 0, 0)

Resposta

A projeção ortogonal de u sobre v é (1, 0, 0).

Exercícios relacionados

A matriz R abaixo representa uma rotação em torno de um eixo passando pela origem, em R^3 :
R=145[rrr 35 & -20 & 20 4 & 35 & 28 -28 & -20 & 29 ]
Qual é o cosseno do ângulo de rotação?
Dica: Determine eixo de rotação, uma direção ortogonal ao eixo e determine o ângulo que este vetor é rodado.
(A) 34
(B) -34
© -35
(D) 35
(E) -12
(F) 12
(G) -45
(H) 45
(I) Não sei
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se R: R^69 R^69 possui como polinômio característico pc^R(x)=(x-6)^31(x+6)^38 e autovalor 6 com multiplicidade geométrica 31 , então R é diagonalizável.
II - Se B é 48 times 48, então B possui autovetor v in R^48.
(A) Todas são verdadeiras.
(B) Todas são falsas.
© Apenas II é verdadeira.
(D) Apenas I é verdadeira.
(E) Não sei
Calcule a projeção ortogonal de u sobre v quando u=(3,-1) e v=(-1,3)
Calcule a projeção ortogonal de u sobre v quando u=(0, 0,0) e v=(1,0,0)