Calcule a projeção ortogonal de u sobre v quando u=(1, 0,0) e v=(-1,0,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a projeção ortogonal do vetor u sobre o vetor v. Aqui, u = (1, 0, 0) e v = (-1, 0, 0). A projeção ortogonal é basicamente “jogar” um vetor sobre o outro de forma perpendiculaire, e para isso, vamos precisar usar algumas fórmulas de álgebra vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da projeção ortogonal de u sobre v, que é dada por:
projv u = ( u cdot v|v|^2 ) v
Aqui, u cdot v representa o produto escalar entre os vetores, e |v| é a magnitude (ou comprimento) do vetor v.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar u cdot v. O produto escalar de dois vetores (u1, u2, u3) e (v1, v2, v3) é:
u cdot v = u1v1 + u2v2 + u3v3
Substituindo os valores:
u cdot v = (1)(-1) + (0)(0) + (0)(0) = -1

Passo 4

Agora, vamos calcular a magnitude de v ao quadrado, |v|^2. A magnitude de um vetor (v1, v2, v3) é:
|v| = raizv1^2 + v2^2 + v3^2
Então,
|v|^2 = (-1)^2 + 0^2 + 0^2 = 1 + 0 + 0 = 1

Passo 5

Com os valores calculados, vamos substituir na fórmula da projeção:
projv u = ( -11 ) v = -1 cdot (-1, 0, 0) = (1, 0, 0)

Resposta

A projeção ortogonal de u sobre v é (1, 0, 0).

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