Calcule a projeção ortogonal de u sobre v quando u=(3,-1) e v=(-1,3)

Passo 1

Beleza, vamos calcular a projeção ortogonal do vetor u = 3 -1 sobre o vetor v = -1 3 . Esse exercício está ligado ao conteúdo de vetores e projeções no espaço, e vamos precisar usar a fórmula da projeção de um vetor sobre outro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para a projeção de u sobre v, que é dada por:
projv u = ( u cdot vv cdot v ) v
Aqui, “ cdot” representa o produto escalar entre dois vetores.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar u cdot v. Para isso, multiplicamos as componentes correspondentes dos vetores e somamos:
u cdot v = (3)(-1) + (-1)(3) = -3 - 3 = -6

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar v cdot v, que é basicamente o quadrado do módulo de v:
v cdot v = (-1)^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10

Passo 5

Com esses resultados, substituímos na fórmula da projeção:
projv u = ( -610 ) v = -35 v

Passo 6

Finalmente, multiplicamos o escalar -35 pelo vetor v:
projv u = -35 -1 3 = 35 -95

Resposta

A projeção ortogonal de u sobre v é 35 -95 .

Exercícios relacionados