Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma sequência definida por uma lei de recorrência:
xn+2 = -3xn + 1487xn+1, n = 1,2,3,ldots
A gente sabe que o primeiro termo é x1 = 14 e precisa descobrir qual valor de x2 faz com que, quando n cresce para o infinito, xn tenda a zero. Para isso, vamos usar conceitos de matrizes e autovalores, que são ferramentas da matemática que nos ajudam a entender como sequências lineares se comportam no longo prazo.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a lei de recorrência de uma forma que facilite a análise. Vamos definir um vetor que encapsula dois termos consecutivos da sequência:
vn = xn xn+1
Assim, a lei de recorrência pode ser expressa como:
vn+1 = 0 & 1 -3 & 1487 vn
Isso significa que cada novo vetor vn+1 é obtido multiplicando a matriz A = 0 & 1 -3 & 1487 pelo vetor anterior vn.
Passo 3
Para entender o comportamento da sequência quando n tende ao infinito, precisamos analisar os autovalores da matriz A. Os autovalores determinam se os termos da sequência vão crescer, decrescer ou oscilar.
Vamos encontrar os autovalores lambda de A resolvendo a equação característica:
Para que limn to infty xn = 0, os autovalores precisam ter módulo menor que 1. Aqui, vemos que lambda1 approx 21 é muito maior que 1, o que fará com que os termos da sequência cresçam sem limite, a menos que o componente associado a esse autovalor seja zero.
Isso significa que, para que a sequência tenda a zero, a combinação linear dos vetores próprios correspondente a lambda1 deve ser nula. Em outras palavras, precisamos escolher x2 de forma que a contribuição do autovalor lambda1 seja eliminada.
Passo 6
Vamos expressar o vetor inicial v1 em termos dos autovalores. Sabemos que:
v1 = x1 x2 = 14 x2
Para eliminar a parte que cresce com lambda1, precisamos que a componente associada a lambda1 seja zero. Após resolver, descobrimos que isso ocorre quando: