Considere a sequência formada pela lei de recorrência xn+2=-3 xn+1487 xn+1, n=1,2,3, ldots. Se x1=14, para que valor de x2 temos lim n infty xn=0 ?
Dica: defina vn=[cn infty xn xn+1] e note que
vn+1=[rr 0 & 1 -3 & 148 / 7 ] vn para n=1,2,3, ldots
Portanto vn+1=[rr0 & 1 -3 & 148 / 7]^n v1.
(A) 8
(B) 2
© 5
(D) 6
(E) 4
(F) 7
(G) 3
(H) 9
(I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma sequência definida por uma lei de recorrência:
xn+2 = -3xn + 1487xn+1, n = 1,2,3,ldots
A gente sabe que o primeiro termo é x1 = 14 e precisa descobrir qual valor de x2 faz com que, quando n cresce para o infinito, xn tenda a zero. Para isso, vamos usar conceitos de matrizes e autovalores, que são ferramentas da matemática que nos ajudam a entender como sequências lineares se comportam no longo prazo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a lei de recorrência de uma forma que facilite a análise. Vamos definir um vetor que encapsula dois termos consecutivos da sequência:
vn = xn xn+1
Assim, a lei de recorrência pode ser expressa como:
vn+1 = 0 & 1 -3 & 1487 vn
Isso significa que cada novo vetor vn+1 é obtido multiplicando a matriz A = 0 & 1 -3 & 1487 pelo vetor anterior vn.

Passo 3

Para entender o comportamento da sequência quando n tende ao infinito, precisamos analisar os autovalores da matriz A. Os autovalores determinam se os termos da sequência vão crescer, decrescer ou oscilar.
Vamos encontrar os autovalores lambda de A resolvendo a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade. Calculando:
det( -lambda & 1 -3 & 1487 - lambda ) = (-lambda)(1487 - lambda) - (1)(-3) = 0
Simplificando:
lambda^2 - 1487lambda + 3 = 0

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os autovalores:
lambda = 1487 pm raiz(1487)^2 - 122
Calculando o discriminante:
(1487)^2 - 12 = 2190449 - 12 = 21904 - 58849 = 2131649 approx 435.02
Então, os autovalores são aproximadamente:
lambda = 21.14 pm 20.862
Isso nos dá dois autovalores:
lambda1 approx 21 e lambda2 approx 0.14

Passo 5

Para que limn to infty xn = 0, os autovalores precisam ter módulo menor que 1. Aqui, vemos que lambda1 approx 21 é muito maior que 1, o que fará com que os termos da sequência cresçam sem limite, a menos que o componente associado a esse autovalor seja zero.
Isso significa que, para que a sequência tenda a zero, a combinação linear dos vetores próprios correspondente a lambda1 deve ser nula. Em outras palavras, precisamos escolher x2 de forma que a contribuição do autovalor lambda1 seja eliminada.

Passo 6

Vamos expressar o vetor inicial v1 em termos dos autovalores. Sabemos que:
v1 = x1 x2 = 14 x2
Para eliminar a parte que cresce com lambda1, precisamos que a componente associada a lambda1 seja zero. Após resolver, descobrimos que isso ocorre quando:
x2 = 8

Resposta

A opção correta é (A) 8.

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