Calcule a projeção ortogonal do vetor sobre o vetor no produto interno indicado:
c) dados por , com produto interno em dado por
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é sobre projeção ortogonal de um vetor sobre outro vetor em um espaço de funções contínuas no intervalo . A gente vai usar conceitos de produto interno e integração para chegar na resposta. Precisamos calcular o produto interno entre e , o produto interno de consigo mesmo, e depois aplicar a fórmula da projeção.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a projeção ortogonal de sobre . A fórmula é:
Aqui, representa o produto interno entre e , e é o produto interno de consigo mesmo.
Passo 3
Vamos calcular . Pelo enunciado, temos:
Para resolver essa integral, vamos usar integração por partes, onde escolhemos e .
Calculando as derivadas e integrais necessárias:
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Calculando a segunda integral:
Então, a integral fica:
Agora, avaliando de a :
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Subtraindo:
Passo 4
Agora, vamos calcular :
Usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso:
Calculando cada parte:
Então:
Passo 5
Agora que temos e , podemos aplicar a fórmula da projeção:
Resposta
A projeção ortogonal de sobre é a função nula, ou seja: