Calcule a projeção ortogonal do vetor u in V sobre o vetor v in V no produto interno indicado:
c) u=f:[-1,1] R in C([-1,1] R) e v=g:[-1,1] R in C([-1,1] R) dados por f(t)=t e g(t)=cos (pi t), com produto interno em C([-1,1] R) dado por
lang<= h1, h2rang<==integral-1^1 h1(t) h2(t) d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é sobre projeção ortogonal de um vetor sobre outro vetor em um espaço de funções contínuas no intervalo . A gente vai usar conceitos de produto interno e integração para chegar na resposta. Precisamos calcular o produto interno entre e , o produto interno de consigo mesmo, e depois aplicar a fórmula da projeção.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a projeção ortogonal de projv(u) = ( lang<= u, v rang<=lang<= v, v rang<= ) v sobre . A fórmula é:
Aqui, representa o produto interno entre e , e é o produto interno de consigo mesmo.

Passo 3

Vamos calcular lang<= u, v rang<= = integral-1^1 u(t) cdot v(t) , dt = integral-1^1 t cdot cos(pi t) , dt . Pelo enunciado, temos:
du = dt e v = sin(pi t)pi
Para resolver essa integral, vamos usar integração por partes, onde escolhemos integral t cos(pi t) , dt = t cdot sin(pi t)pi - integral sin(pi t)pi , dt e integral sin(pi t)pi , dt = -cos(pi t)pi^2 .
Calculando as derivadas e integrais necessárias:
integral t cos(pi t) , dt = t sin(pi t)pi + cos(pi t)pi^2 + C
Aplicando a fórmula de integração por partes:
lang<= u, v rang<= = [ t sin(pi t)pi + cos(pi t)pi^2 ]-1^1
Calculando a segunda integral:
1 cdot sin(pi)pi + cos(pi)pi^2 = 0 - 1pi^2
Então, a integral fica:
-1 cdot sin(-pi)pi + cos(-pi)pi^2 = 0 - 1pi^2
Agora, avaliando de lang<= u, v rang<= = ( -1pi^2 ) - ( -1pi^2 ) = 0 a :
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Subtraindo:

Passo 4

Agora, vamos calcular lang<= v, v rang<= = integral-1^1 v(t) cdot v(t) , dt = integral-1^1 cos^2(pi t) , dt :
cos^2(x) = 1 + cos(2x)2
Usamos a identidade trigonométrica:
integral-1^1 cos^2(pi t) , dt = integral-1^1 1 + cos(2pi t)2 , dt = 12 integral-1^1 1 , dt + 12 integral-1^1 cos(2pi t) , dt
Aplicando isso:
12 integral-1^1 1 , dt = 12 cdot (1 - (-1)) = 12 cdot 2 = 1
Calculando cada parte:
12 integral-1^1 cos(2pi t) , dt = 12 cdot [ sin(2pi t)2pi ]-1^1 = 12 cdot (0 - 0) = 0
lang<= v, v rang<= = 1 + 0 = 1
Então:

Passo 5

Agora que temos projv(u) = ( 01 ) v = 0 cdot v = 0 e , podemos aplicar a fórmula da projeção:

Resposta

A projeção ortogonal de projv(u)(t) = 0 sobre é a função nula, ou seja:

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Seja undersetsimY sim Nn(mu, Sigma) onde o posto de Sigma é r(Sigma)=n. Prove que se Sigma é uma inversa generalizada de A, então undersetsimY^prime A undersetsimY undersetsimsim chip, lambda^2, onde lambda=12 musim^prime A undersetsim undersetsim e p=r(A).
Seja A uma matriz p times p simétrica, positiva definida e sua decomposição espectral A=E D E^prime.
(a) Prove que E^prime E=E E^prime=Ip.
(b) Utilizando (a), mostre que A=P P, onde P=E D^1 / 2 E^prime e D^1 / 2=diagraizlambda1, raizlambda2, ldots, raizlambdap, com lambdai © Mostre que A^-1=E D^-1 E^prime.
(d) Dada a matriz
A=[cc 9 & -2 -2 & 6 ]
Determine seus autovalores e autovetores. Determine sua decomposição espectral. Utilizando o item © determine a inversa de A. Utilizando o item (b), determine P tal que A=P P.
Sabendo que A=(cc3 & 0 -1 & 5), B=(ccc4 & -2 & 1 0 & 2 & 3), C=(ll1 & 2 3 & 4 5 & 6), D=(cc0 & -3 -2 & 1), E=(ll4 & 2) e F=binom-12, calcule a matriz indicada (se possível).
(d) B-C^T
Em cada um dos itens a seguir ache a matriz A=(ai j) de ordem 4 times 4 que satisfaz a condição dada:
(f) ai j=l1 se 6 <= i+j <= 8 0 nos outros casos