Então, a gente tem uma matriz quadrada de ordem que é simétrica e definida positiva. A decomposição espectral dessa matriz é dada por , onde é a matriz dos autovetores e é a matriz diagonal dos autovalores. Vamos resolver as seguintes partes:
(a) Provar que .
(b) Usar o resultado de (a) para mostrar que , onde e é a matriz diagonal com as raízes quadradas dos autovalores.
Como é simétrica e definida positiva, sabemos que seus autovetores são ortonormais. Isso significa que a matriz formada por esses autovetores satisfaz a propriedade de que a transposta de multiplicada por resulta na matriz identidade. Matematicamente, isso é . Além disso, por serem ortonormais, também temos .
Passo 3
Agora, vamos para o item (b). Usando o resultado de (a), queremos mostrar que , onde e é a matriz diagonal com as raízes quadradas dos autovalores de .
Sabemos que . Se definirmos como a matriz diagonal com nos elementos da diagonal, então:
Sabemos que . Para encontrar a inversa de , usamos a propriedade de que a inversa de um produto de matrizes ortogonais vezes uma diagonal é dada por inverter cada componente:
Assim, , onde é a matriz diagonal com os inversos dos autovalores de .
Passo 5
Finalmente, vamos para o item (d). Dada a matriz:
Primeiro, vamos encontrar os autovalores. Para isso, resolvemos o determinante :
Resolvendo a equação quadrática:
Então, os autovalores são e .
Agora, encontramos os autovetores. Para :
Resolvendo, temos . Então, um autovetor associado é . Normalizando, fica .
Para :
Resolvendo, temos . Então, um autovetor associado é . Normalizando, fica .
Finalmente, usando o item (b), a matriz que satisfaz é:
Resposta
Foi demonstrado cada item conforme solicitado, determinando os autovalores , , os autovetores correspondentes, a decomposição espectral de , sua inversa e a matriz tal que .