Seja A uma matriz p times p simétrica, positiva definida e sua decomposição espectral A=E D E^prime.
(a) Prove que E^prime E=E E^prime=Ip.
(b) Utilizando (a), mostre que A=P P, onde P=E D^1 / 2 E^prime e D^1 / 2=diagraizlambda1, raizlambda2, ldots, raizlambdap, com lambdai © Mostre que A^-1=E D^-1 E^prime.
(d) Dada a matriz
A=[cc 9 & -2 -2 & 6 ]
Determine seus autovalores e autovetores. Determine sua decomposição espectral. Utilizando o item © determine a inversa de A. Utilizando o item (b), determine P tal que A=P P.

Passo 1

Então, a gente tem uma matriz quadrada A de ordem p que é simétrica e definida positiva. A decomposição espectral dessa matriz é dada por A = E D E^prime, onde E é a matriz dos autovetores e D é a matriz diagonal dos autovalores. Vamos resolver as seguintes partes:
(a) Provar que E^prime E = E E^prime = Ip.
(b) Usar o resultado de (a) para mostrar que A = P P, onde P = E D^1/2 E^prime e D^1/2 é a matriz diagonal com as raízes quadradas dos autovalores.
© Mostrar que A^-1 = E D^-1 E^prime.
(d) Dada a matriz específica A = 9 & -2 -2 & 6 , determinar seus autovalores, autovetores, decomposição espectral, a inversa de A usando © e a matriz P usando (b).

Passo 2

Começando pelo item (a). Queremos provar que E^prime E = E E^prime = Ip.
Como A é simétrica e definida positiva, sabemos que seus autovetores são ortonormais. Isso significa que a matriz E formada por esses autovetores satisfaz a propriedade de que a transposta de E multiplicada por E resulta na matriz identidade. Matematicamente, isso é E^prime E = Ip. Além disso, por serem ortonormais, também temos E E^prime = Ip.

Passo 3

Agora, vamos para o item (b). Usando o resultado de (a), queremos mostrar que A = P P, onde P = E D^1/2 E^prime e D^1/2 é a matriz diagonal com as raízes quadradas dos autovalores de A.
Sabemos que A = E D E^prime. Se definirmos D^1/2 como a matriz diagonal com raizlambdai nos elementos da diagonal, então:
P = E D^1/2 E^prime
Multiplicando P por ele mesmo:
P P = E D^1/2 E^prime E D^1/2 E^prime = E D^1/2 Ip D^1/2 E^prime = E D E^prime = A
Aqui usamos que E^prime E = Ip.

Passo 4

Passando para o item ©, queremos mostrar que A^-1 = E D^-1 E^prime.
Sabemos que A = E D E^prime. Para encontrar a inversa de A, usamos a propriedade de que a inversa de um produto de matrizes ortogonais vezes uma diagonal é dada por inverter cada componente:
A^-1 = (E D E^prime)^-1 = E (D)^-1 E^prime
Assim, A^-1 = E D^-1 E^prime, onde D^-1 é a matriz diagonal com os inversos dos autovalores de A.

Passo 5

Finalmente, vamos para o item (d). Dada a matriz:
A = 9 & -2 -2 & 6
Primeiro, vamos encontrar os autovalores. Para isso, resolvemos o determinante det(A - lambda I) = 0:
det 9 - lambda & -2 -2 & 6 - lambda = (9 - lambda)(6 - lambda) - (-2)(-2) = (54 - 15lambda + lambda^2) - 4 = lambda^2 - 15lambda + 50 = 0
Resolvendo a equação quadrática:
lambda = 15 pm raiz225 - 2002 = 15 pm raiz252 = 15 pm 52
Então, os autovalores são lambda1 = 10 e lambda2 = 5.
Agora, encontramos os autovetores. Para lambda1 = 10:
(A - 10I) v = 0 Rightarrow -1 & -2 -2 & -4 v = 0
Resolvendo, temos -v1 - 2v2 = 0 Rightarrow v1 = -2v2. Então, um autovetor associado é v1 = -2 1 . Normalizando, fica 1raiz5 -2 1 .
Para lambda2 = 5:
(A - 5I) v = 0 Rightarrow 4 & -2 -2 & 1 v = 0
Resolvendo, temos 4v1 - 2v2 = 0 Rightarrow v1 = 12v2. Então, um autovetor associado é v2 = 1 2 . Normalizando, fica 1raiz5 1 2 .
A decomposição espectral de A é então:
A = E D E^prime = 1raiz5 -2 & 1 1 & 2 10 & 0 0 & 5 1raiz5 -2 & 1 1 & 2 ^prime
Agora, usando o item ©, a inversa de A é:
A^-1 = E D^-1 E^prime = 1raiz5 -2 & 1 1 & 2 110 & 0 0 & 15 1raiz5 -2 & 1 1 & 2 ^prime
Finalmente, usando o item (b), a matriz P que satisfaz A = P P é:
P = E D^1/2 E^prime = 1raiz5 -2 & 1 1 & 2 raiz10 & 0 0 & raiz5 1raiz5 -2 & 1 1 & 2 ^prime

Resposta

Foi demonstrado cada item conforme solicitado, determinando os autovalores lambda1 = 10, lambda2 = 5, os autovetores correspondentes, a decomposição espectral de A, sua inversa A^-1 e a matriz P tal que A = P P.

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Classifique as matrizes abaixo em positiva definida ou positiva semidefinida.
(a) [ccc4 & 1 & 2 4 & 4 & -1 2 & -4 & 4]
(b) [ccc1 & 0 & -1 0 & 1 & 0 -1 & 0 & 1]
© [ccc2 & 1 & -1 1 & 2 & 1 -1 & 1 & 2]
Seja undersetsimY sim Np(mu, sigma^2 l). Se A é uma matriz simétrica de posto completo, calcule E(undersetsimY^prime A undersetsim Y).
Seja undersetsimY sim Nn(mu, Sigma) onde o posto de Sigma é r(Sigma)=n. Prove que se Sigma é uma inversa generalizada de A, então undersetsimY^prime A undersetsimY undersetsimsim chip, lambda^2, onde lambda=12 musim^prime A undersetsim undersetsim e p=r(A).
Calcule a projeção ortogonal do vetor u in V sobre o vetor v in V no produto interno indicado:
c) u=f:[-1,1] R in C([-1,1] R) e v=g:[-1,1] R in C([-1,1] R) dados por f(t)=t e g(t)=cos (pi t), com produto interno em C([-1,1] R) dado por
lang<= h1, h2rang<==integral-1^1 h1(t) h2(t) d t