Seja onde o posto de é . Prove que se é uma inversa generalizada de , então , onde e .
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar os conceitos que vamos usar. A questão nos apresenta uma variável aleatória vetorial que segue uma distribuição normal multivariada com média e matriz de covariância , onde o posto de é . Precisamos provar que, se é uma inversa generalizada de uma matriz , então o produto quadrático segue uma distribuição qui-quadrado não central com graus de liberdade e parâmetro de não centralidade .
Para resolver isso, vamos precisar entender os seguintes conceitos:
Distribuição Normal Multivariada
Inversa Generalizada de uma Matriz
Distribuição Qui-Quadrado Não Central
Produto Quadrático de Variáveis Aleatórias
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa . Isso indica que é um vetor aleatório com distribuição normal multivariada de média e matriz de covariância . A matriz de covariância descreve como as variáveis dentro de estão relacionadas entre si.
Passo 3
A condição significa que a matriz tem posto completo, ou seja, ela é invertível. No entanto, a questão menciona que é uma inversa generalizada de . Uma inversa generalizada de uma matriz é uma matriz que satisfaz algumas propriedades semelhantes à inversa, mas não necessariamente todas se não for invertível.
Passo 4
Precisamos provar que segue uma distribuição qui-quadrado não central. Para isso, vamos lembrar que, em geral, para uma variável aleatória que segue uma distribuição normal multivariada, o produto quadrático pode seguir uma distribuição qui-quadrado não central sob certas condições.
Passo 5
Vamos considerar a propriedade de que se é uma inversa generalizada de , então . Isso é importante porque nos ajuda a relacionar as matrizes e , facilitando o cálculo do produto quadrático.
Passo 6
Agora, vamos calcular a esperança e a variância de . A esperança de um produto quadrático de uma variável normal multivariada é dada por:
E a variância pode ser calculada, mas como estamos buscando a distribuição, focaremos na estrutura do produto quadrático.
Passo 7
Sabemos que se segue uma distribuição normal multivariada, então segue uma distribuição qui-quadrado não central se for simétrica e semitransposta em relação à inversa de . Dado que é uma inversa generalizada de , essas condições são satisfeitas.
Passo 8
A distribuição qui-quadrado não central é caracterizada por dois parâmetros: os graus de liberdade e o parâmetro de não centralidade . No nosso caso, é igual ao posto de , ou seja, .
Passo 9
O parâmetro de não centralidade é dado por:
Isso surge da média da distribuição normal multivariada, que desloca a distribuição qui-quadrado central para uma não central.
Passo 10
Com base nesses passos, concluímos que segue uma distribuição qui-quadrado não central com graus de liberdade e parâmetro de não centralidade .
Resposta
Portanto, segue uma distribuição qui-quadrado não central com graus de liberdade e , conforme solicitado.