Calcule a projeção ortogonal do vetor
sobre o vetor
no produto interno indicado:
e
dados por
e
, com produto interno em
dado por
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a projeção ortogonal do vetor
sobre o vetor
no espaço de funções contínuas
. Aqui,
e
. Para isso, vamos usar o produto interno definido por:
Vamos precisar calcular esse produto interno entre
e
, além do próprio produto interno de
com ele mesmo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a projeção de
sobre
. A fórmula para a projeção ortogonal é:
Então, precisamos encontrar
e
.
Passo 3
Vamos calcular
:
Para resolver essa integral, podemos usar integração por partes.
Passo 4
Aplicando a integração por partes, onde:
-
e - Então,
e
A fórmula de integração por partes é:
Aplicando:
Resolvendo a segunda integral:
Portanto:
Agora, avaliamos de
a
:
Calculando:
Para
:
Para
:
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos calcular
:
Usaremos a identidade trigonométrica:
Aplicando:
Calculando cada parte:
Portanto:
Passo 6
Agora que temos
e
, aplicamos a fórmula da projeção:
Resposta
A projeção ortogonal do vetor
sobre
é o vetor zero, ou seja: