Calcule a projeção ortogonal do vetor u in V sobre o vetor v in V no produto interno indicado: u=f:[-1,1] R in C([-1,1] R) e v=g:[-1,1] R in C([-1,1] R) dados por f(t)=t e g(t)=cos (pi t), com produto interno em C([-1,1] R) dado por
lang<= h1, h2rang<==integral-1^1 h1(t) h2(t) d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a projeção ortogonal do vetor lang<= h1, h2rang<= = integral-1^1 h1(t) h2(t) , dt sobre o vetor no espaço de funções contínuas . Aqui, e . Para isso, vamos usar o produto interno definido por:
Vamos precisar calcular esse produto interno entre e , além do próprio produto interno de com ele mesmo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a projeção de projv(u) = lang<= u, v rang<=lang<= v, v rang<= , v sobre . A fórmula para a projeção ortogonal é:
Então, precisamos encontrar e .

Passo 3

Vamos calcular lang<= u, v rang<= = integral-1^1 u(t) cdot v(t) , dt = integral-1^1 t cdot cos(pi t) , dt :
Para resolver essa integral, podemos usar integração por partes.

Passo 4

Aplicando a integração por partes, onde:
  • integral u , dv = uv - integral v , du e integral t cos(pi t) , dt = t cdot sin(pi t)pi - integral sin(pi t)pi , dt
  • Então, integral sin(pi t)pi , dt = -cos(pi t)pi^2 e integral t cos(pi t) , dt = t sin(pi t)pi + cos(pi t)pi^2 + C
A fórmula de integração por partes é:
lang<= u, v rang<= = [ t sin(pi t)pi + cos(pi t)pi^2 ]-1^1
Aplicando:
1 cdot sin(pi)pi + cos(pi)pi^2 = 0 + -1pi^2 = -1pi^2
Resolvendo a segunda integral:
(-1) cdot sin(-pi)pi + cos(-pi)pi^2 = 1 cdot sin(pi)pi + -1pi^2 = 0 - 1pi^2 = -1pi^2
Portanto:
lang<= u, v rang<= = ( -1pi^2 ) - ( -1pi^2 ) = 0
Agora, avaliamos de a :
Calculando:
Para :
Para :
Portanto:

Passo 5

Agora, vamos calcular lang<= v, v rang<= = integral-1^1 v(t) cdot v(t) , dt = integral-1^1 cos^2(pi t) , dt :
cos^2(theta) = 1 + cos(2theta)2
Usaremos a identidade trigonométrica:
integral-1^1 cos^2(pi t) , dt = integral-1^1 1 + cos(2pi t)2 , dt = 12 integral-1^1 1 , dt + 12 integral-1^1 cos(2pi t) , dt
Aplicando:
12 integral-1^1 1 , dt = 12 cdot (1 - (-1)) = 12 cdot 2 = 1
Calculando cada parte:
12 integral-1^1 cos(2pi t) , dt = 12 cdot [ sin(2pi t)2pi ]-1^1 = 12 cdot ( sin(2pi)2pi - sin(-2pi)2pi ) = 0
lang<= v, v rang<= = 1 + 0 = 1
Portanto:

Passo 6

Agora que temos projv(u) = 01 cdot v = 0 cdot v = 0 e , aplicamos a fórmula da projeção:

Resposta

A projeção ortogonal do vetor projv(u) = 0 sobre é o vetor zero, ou seja:

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