Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá duas bases, e , e a matriz de mudança de base de para , que é . Nossa missão aqui é encontrar a matriz de mudança de base de para , ou seja, . Para isso, vamos precisar entender como as matrizes de mudança de base funcionam e como encontrar a inversa de uma matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a matriz de mudança de base de MEF = (MFE)^-1 para é a inversa da matriz de mudança de para . Isso significa que:
Então, para encontrar , precisamos calcular a inversa de .
Passo 3
Vamos escrever a matriz MFE = -1 & 0 & a 2 & 1 & b 1 & 0 & c :
Para encontrar a inversa dessa matriz, , precisamos verificar se a matriz é invertível. Uma matriz é invertível se o seu determinante for diferente de zero.
Passo 4
Calculando o determinante de det(MFE) = -1 cdot (1 cdot c - b cdot 0) - 0 cdot (2 cdot c - b cdot 1) + a cdot (2 cdot 0 - 1 cdot 1) = -1 cdot c - 0 + a cdot (-1) = -c - a :
Para que a matriz seja invertível, precisamos que , ou seja, .
Passo 5
Assumindo que , vamos encontrar a inversa de . A fórmula para a inversa de uma matriz 3x3 é um pouco trabalhosa, mas vamos seguir os passos:
Calcular a matriz dos cofatores.
Transpor essa matriz para obter a adjunta.
Multiplicar a adjunta pelo inverso do determinante.
Passo 6
Calculando os cofatores de Cofator11 = det 1 & b 0 & c = 1 cdot c - b cdot 0 = c :
Cofator12 = -det 2 & b 1 & c = -(2 cdot c - b cdot 1) = -2c + b