Sejam E e F bases tais que
MF E=(rrr -1 & 0 & a 2 & 1 & b 1 & 0 & c )
(b) Determine a matriz ME F.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá duas bases, e , e a matriz de mudança de base de para , que é . Nossa missão aqui é encontrar a matriz de mudança de base de para , ou seja, . Para isso, vamos precisar entender como as matrizes de mudança de base funcionam e como encontrar a inversa de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a matriz de mudança de base de MEF = (MFE)^-1 para é a inversa da matriz de mudança de para . Isso significa que:
Então, para encontrar , precisamos calcular a inversa de .

Passo 3

Vamos escrever a matriz MFE = -1 & 0 & a 2 & 1 & b 1 & 0 & c :
Para encontrar a inversa dessa matriz, , precisamos verificar se a matriz é invertível. Uma matriz é invertível se o seu determinante for diferente de zero.

Passo 4

Calculando o determinante de det(MFE) = -1 cdot (1 cdot c - b cdot 0) - 0 cdot (2 cdot c - b cdot 1) + a cdot (2 cdot 0 - 1 cdot 1) = -1 cdot c - 0 + a cdot (-1) = -c - a :
Para que a matriz seja invertível, precisamos que , ou seja, .

Passo 5

Assumindo que , vamos encontrar a inversa de . A fórmula para a inversa de uma matriz 3x3 é um pouco trabalhosa, mas vamos seguir os passos:
  1. Calcular a matriz dos cofatores.
  2. Transpor essa matriz para obter a adjunta.
  3. Multiplicar a adjunta pelo inverso do determinante.

Passo 6

Calculando os cofatores de Cofator11 = det 1 & b 0 & c = 1 cdot c - b cdot 0 = c :
Cofator12 = -det 2 & b 1 & c = -(2 cdot c - b cdot 1) = -2c + b
Cofator13 = det 2 & 1 1 & 0 = 2 cdot 0 - 1 cdot 1 = -1
Cofator21 = -det 0 & a 0 & c = - (0 cdot c - a cdot 0) = 0
Cofator22 = det -1 & a 1 & c = (-1) cdot c - a cdot 1 = -c - a
Cofator23 = -det -1 & 0 1 & 0 = - [(-1) cdot 0 - 0 cdot 1] = 0
Cofator31 = det 0 & a 1 & b = 0 cdot b - a cdot 1 = -a
Cofator32 = -det -1 & a 2 & b = - [(-1) cdot b - a cdot 2] = b + 2a
Cofator33 = det -1 & 0 2 & 1 = (-1) cdot 1 - 0 cdot 2 = -1

Passo 7

Montando a matriz de cofatores:
Cof(MFE) = c & -2c + b & -1 0 & -c - a & 0 -a & b + 2a & -1
Agora, vamos transpor essa matriz para obter a adjunta:
Adj(MFE) = c & 0 & -a -2c + b & -c - a & b + 2a -1 & 0 & -1

Passo 8

Finalmente, multiplicamos a adjunta pelo inverso do determinante para encontrar MEF = 1-c - a cdot c & 0 & -a -2c + b & -c - a & b + 2a -1 & 0 & -1 :
MEF = 1-c - a c & 0 & -a -2c + b & -c - a & b + 2a -1 & 0 & -1
Simplificando, temos:

Resposta

A matriz MEF = 1-c - a c & 0 & -a -2c + b & -c - a & b + 2a -1 & 0 & -1 é dada por:

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