Calcule a projeção ortogonal do vetor
sobre o vetor
no produto interno indicado:
, com o produto interno usual em
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a projeção ortogonal do vetor
sobre o vetor
no espaço
, usando o produto interno usual. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre projeções de vetores. Para resolver, vamos precisar da fórmula da projeção e entender como funciona o produto interno no
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o produto interno no
. O produto interno entre dois vetores
e
é dado por:
Isso basicamente multiplica os componentes correspondentes e soma tudo.
Passo 3
Agora, vamos lembrar a fórmula da projeção ortogonal de
sobre
:
Ou seja, a projeção é um múltiplo do vetor
, onde o múltiplo é o quociente entre o produto interno de
com
e o produto interno de
com ele mesmo.
Passo 4
Vamos calcular agora o produto interno
:
Passo 5
Em seguida, calculamos
:
Passo 6
Agora, substituímos esses valores na fórmula da projeção:
Resposta
A projeção ortogonal de
sobre
é
.