Calcule a projeção ortogonal do vetor u in V sobre o vetor v in V no produto interno indicado: u=(1,3,-5) in R^3 e v=(0,2,1) in R^3, com o produto interno usual em R^3;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a projeção ortogonal do vetor sobre o vetor no espaço , usando o produto interno usual. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre projeções de vetores. Para resolver, vamos precisar da fórmula da projeção e entender como funciona o produto interno no .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto interno no lang<= a, b rang<= = a1b1 + a2b2 + a3b3 . O produto interno entre dois vetores e é dado por:
Isso basicamente multiplica os componentes correspondentes e soma tudo.

Passo 3

Agora, vamos lembrar a fórmula da projeção ortogonal de projv u = ( lang<= u, v rang<=lang<= v, v rang<= ) v sobre :
Ou seja, a projeção é um múltiplo do vetor , onde o múltiplo é o quociente entre o produto interno de com e o produto interno de com ele mesmo.

Passo 4

Vamos calcular agora o produto interno lang<= u, v rang<= = (1)(0) + (3)(2) + (-5)(1) = 0 + 6 - 5 = 1 :

Passo 5

Em seguida, calculamos lang<= v, v rang<= = (0)^2 + (2)^2 + (1)^2 = 0 + 4 + 1 = 5 :

Passo 6

Agora, substituímos esses valores na fórmula da projeção:
projv u = ( 15 ) v = 15 cdot (0, 2, 1) = ( 0, 25, 15 )

Resposta

A projeção ortogonal de sobre é .

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