Calcule a projeção ortogonal do vetor u in V sobre o vetor v in V no produto interno indicado: u=(1,-1) in R^2 e v=(2,-3) in R^2, com o produto interno usual em R^2;

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores no espaço bidimensional R^2: u = (1, -1) e v = (2, -3). O objetivo é encontrar a projeção ortogonal de u sobre v usando o produto interno usual em R^2. Basicamente, isso significa que queremos “projetar” o vetor u na direção do vetor v.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula para a projeção de um vetor u sobre um vetor v no espaço vetorial com produto interno. A projeção ortogonal é dada por:
projv u = ( u cdot vv cdot v ) v
Aqui, “ cdot” representa o produto escalar (ou produto interno) entre os vetores.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar u cdot v. O produto escalar de dois vetores u = (u1, u2) e v = (v1, v2) é:
u cdot v = u1 v1 + u2 v2
Aplicando isso aos nossos vetores:
u cdot v = (1)(2) + (-1)(-3) = 2 + 3 = 5

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar v cdot v:
v cdot v = (2)^2 + (-3)^2 = 4 + 9 = 13

Passo 5

Com os valores de u cdot v = 5 e v cdot v = 13, podemos substituir na fórmula da projeção:
projv u = ( 513 ) v = 513 cdot (2, -3) = ( 1013, -1513 )

Resposta

A projeção ortogonal de u sobre v é ( dfrac1013, -dfrac1513 ).

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