Calcule a projeção ortogonal do vetor
sobre o vetor
no produto interno indicado:
e
, com o produto interno usual em
;
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores no espaço bidimensional
:
e
. O objetivo é encontrar a projeção ortogonal de
sobre
usando o produto interno usual em
. Basicamente, isso significa que queremos “projetar” o vetor
na direção do vetor
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula para a projeção de um vetor
sobre um vetor
no espaço vetorial com produto interno. A projeção ortogonal é dada por:
Aqui, “
” representa o produto escalar (ou produto interno) entre os vetores.
Passo 3
Vamos calcular o produto escalar
. O produto escalar de dois vetores
e
é:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
Passo 5
Com os valores de
e
, podemos substituir na fórmula da projeção:
Resposta
A projeção ortogonal de
sobre
é
.