Mostre que a função
é linear. Descreva geometricamente o que a transformação executa.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede pra gente mostrar que a função
é linear. Além disso, precisamos descrever de um jeito geométrico o que essa transformação faz. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como a definição de funções lineares e operações com vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser linear. Uma função
é linear se ela satisfaz duas propriedades:
- Adição de vetores:
para quaisquer vetores e . - Multiplicação por escalar:
para qualquer vetor e escalar .
Passo 3
Vamos verificar essas duas propriedades para a função
.
1. Verificação da adição de vetores:
Sejam e
.
Sejam
Calculando
:
Calculando
:
Como
, a propriedade da adição é satisfeita.
2. Verificação da multiplicação por escalar:
Seja um escalar qualquer e
.
Seja
Calculando
:
Calculando
:
Como
, a propriedade da multiplicação por escalar também é satisfeita.
Passo 4
Como as duas propriedades de linearidade foram satisfeitas, podemos concluir que a função
é realmente uma transformação linear.
Passo 5
Agora, vamos pensar geometricamente no que essa transformação faz. A função
troca as coordenadas e inverte o sinal do novo segundo componente. Isso equivale a uma rotação de 90 graus no sentido horário no plano.
Por exemplo, se pegarmos o ponto
, aplicando
teremos:
Isso mostra que o ponto
foi rotacionado 90 graus para chegar a
.
Resposta
A função
é linear porque satisfaz as propriedades de adição de vetores e multiplicação por escalar. Geometricamente, essa transformação realiza uma rotação de 90 graus no sentido horário no plano.