Mostre que a função T(x, y)=(y,-x) é linear. Descreva geometricamente o que a transformação executa.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede pra gente mostrar que a função é linear. Além disso, precisamos descrever de um jeito geométrico o que essa transformação faz. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como a definição de funções lineares e operações com vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser linear. Uma função é linear se ela satisfaz duas propriedades:
  1. Adição de vetores: para quaisquer vetores e .
  2. Multiplicação por escalar: para qualquer vetor e escalar .

Passo 3

Vamos verificar essas duas propriedades para a função T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2) = (y1 + y2, -(x1 + x2)) = (y1 + y2, -x1 - x2) .
1. Verificação da adição de vetores:
Sejam T(u) = (y1, -x1) e T(v) = (y2, -x2) e T(u) + T(v) = (y1 + y2, -x1 - x2) .
Calculando T(cu) = T(cx, cy) = (cy, -cx) :
T(u) = (y, -x) Rightarrow cT(u) = (c y, -c x)
Calculando :
Como , a propriedade da adição é satisfeita.
2. Verificação da multiplicação por escalar:
Seja um escalar qualquer e .
Calculando :
Calculando :
Como , a propriedade da multiplicação por escalar também é satisfeita.

Passo 4

Como as duas propriedades de linearidade foram satisfeitas, podemos concluir que a função é realmente uma transformação linear.

Passo 5

Agora, vamos pensar geometricamente no que essa transformação faz. A função T(1, 0) = (0, -1) troca as coordenadas e inverte o sinal do novo segundo componente. Isso equivale a uma rotação de 90 graus no sentido horário no plano.
Por exemplo, se pegarmos o ponto , aplicando teremos:
Isso mostra que o ponto foi rotacionado 90 graus para chegar a .

Resposta

A função é linear porque satisfaz as propriedades de adição de vetores e multiplicação por escalar. Geometricamente, essa transformação realiza uma rotação de 90 graus no sentido horário no plano.

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