Para os subespaços vetoriais W subset V, determine uma base para W^perp no produto interno indicado: W subset P2(R) gerado por 1,1-t, no produto interno
lang<= h1, h2rang<==integral-1^1 h1(t) h2(t) d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente encontrar uma base para o complemento ortogonal de um subespaço lang<= h1, h2rang<= = integral-1^1 h1(t) h2(t) , dt dentro do espaço de polinômios de grau no máximo 2, , usando um produto interno específico. O subespaço é gerado pelos polinômios , e o produto interno é definido por:
Então, vamos precisar entender o que é complemento ortogonal e como encontrar uma base para ele nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é complemento ortogonal. Dado um subespaço lang<= p(t), 1 rang<= = 0 e lang<= p(t), 1 - t rang<= = 0 de um espaço vetorial com um produto interno definido, o complemento ortogonal é o conjunto de todos os vetores que são “perpendiculares” a cada vetor de , ou seja, que têm produto interno zero com todos os vetores de .
No nosso caso, queremos encontrar todos os polinômios em que satisfazem:

Passo 3

Vamos representar um polinômio genérico em p(t) = a + bt + ct^2 como:
integral-1^1 (a + bt + ct^2) cdot 1 , dt = 0
onde integral-1^1 (a + bt + ct^2) cdot (1 - t) , dt = 0 , e são coeficientes reais que precisamos encontrar.
Agora, aplicando o critério de ortogonalidade, temos duas equações baseadas nos produtos internos:
  1. Para :
  1. Para :

Passo 4

Vamos resolver essas integrais uma por uma para encontrar as relações entre integral-1^1 (a + bt + ct^2) , dt = 0 , a integral-1^1 dt + b integral-1^1 t , dt + c integral-1^1 t^2 , dt = 0 e 2a + 0b + 23c = 0 Rightarrow 2a + 23c = 0 .
Primeira integral:
Integrando termo a termo:
Calculando as integrais:
  • (função ímpar integrada em intervalo simétrico)
Substituindo:

Passo 5

Segunda integral:
integral-1^1 (a + bt + ct^2)(1 - t) , dt = 0
Primeiro, vamos multiplicar os polinômios:
(a + bt + ct^2)(1 - t) = a(1 - t) + bt(1 - t) + ct^2(1 - t) = a - at + bt - bt^2 + ct^2 - ct^3
Agora, integramos termo a termo:
integral-1^1 a , dt - a integral-1^1 t , dt + b integral-1^1 t , dt - b integral-1^1 t^2 , dt + c integral-1^1 t^2 , dt - c integral-1^1 t^3 , dt = 0
Calculando as integrais:
  • 2a - a cdot 0 + b cdot 0 - b cdot 23 + c cdot 23 - c cdot 0 = 0
  • 2a - 23b + 23c = 0 (função ímpar)
Substituindo:
Simplificando:

Passo 6

Agora, temos um sistema de duas equações com três incógnitas:
  1. 2a + 23c = 0 Rightarrow 3(2a) + 3(23c) = 0 Rightarrow 6a + 2c = 0 Rightarrow 3a + c = 0 Rightarrow c = -3a
  2. 2a - 23b + 23(-3a) = 0 Rightarrow 2a - 23b - 2a = 0 Rightarrow -23b = 0 Rightarrow b = 0
Vamos simplificar o primeiro:
Substituindo na segunda equação:

Passo 7

Agora, sabemos que p(t) = a + 0 cdot t + (-3a)t^2 = a(1 - 3t^2) e . Portanto, o polinômio fica:
Isso significa que qualquer polinômio no complemento ortogonal é um múltiplo escalar de .

Resposta

Portanto, uma base para ,1 - 3t^2, é:

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