Para os subespaços vetoriais
, determine uma base para
no produto interno indicado:
gerado por
, no produto interno
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente encontrar uma base para o complemento ortogonal de um subespaço
dentro do espaço de polinômios de grau no máximo 2,
, usando um produto interno específico. O subespaço
é gerado pelos polinômios
, e o produto interno é definido por:
Então, vamos precisar entender o que é complemento ortogonal e como encontrar uma base para ele nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que é complemento ortogonal. Dado um subespaço
de um espaço vetorial com um produto interno definido, o complemento ortogonal
é o conjunto de todos os vetores que são “perpendiculares” a cada vetor de
, ou seja, que têm produto interno zero com todos os vetores de
.
No nosso caso, queremos encontrar todos os polinômios
em
que satisfazem:
Passo 3
Vamos representar um polinômio genérico em
como:
onde
,
e
são coeficientes reais que precisamos encontrar.
Agora, aplicando o critério de ortogonalidade, temos duas equações baseadas nos produtos internos:
- Para
:
- Para
:
Passo 4
Vamos resolver essas integrais uma por uma para encontrar as relações entre
,
e
.
Primeira integral:
Integrando termo a termo:
Calculando as integrais:
-
-
(função ímpar integrada em intervalo simétrico) -
Substituindo:
Passo 5
Segunda integral:
Primeiro, vamos multiplicar os polinômios:
Agora, integramos termo a termo:
Calculando as integrais:
-
-
(função ímpar) -
-
Substituindo:
Simplificando:
Passo 6
Agora, temos um sistema de duas equações com três incógnitas:
Vamos simplificar o primeiro:
Substituindo
na segunda equação:
Passo 7
Agora, sabemos que
e
. Portanto, o polinômio
fica:
Isso significa que qualquer polinômio no complemento ortogonal
é um múltiplo escalar de
.
Resposta
Portanto, uma base para
é: