Em relaçio a matriz A=(cccc1 & 2 & 3 & 4 -1 & 5 & -3 & -2 2 & 0 & 6 & 1 -2 & 0 & -6 & 0). Responda cada afirmação com
Verdadeiro ou Falso e justifique sua resposta:
(a) det A neq 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma matriz de ordem 4 e pede para a gente dizer se o determinante dessa matriz é diferente de zero, ou seja, se . Para resolver isso, vamos usar o conceito de determinante de uma matriz. O determinante é um número que nos dá várias informações sobre a matriz, como se ela é invertível. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível; se for zero, não é.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o determinante de uma matriz 4x4. Uma maneira prática é simplificar a matriz usando operações elementares (como trocar linhas, multiplicar uma linha por um número, ou somar múltiplos de uma linha a outra) para transformá-la em uma matriz triangular (onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero). Depois, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal.

Passo 3

Vamos aplicar algumas operações na matriz A = 1 & 2 & 3 & 4 -1 & 5 & -3 & -2 2 & 0 & 6 & 1 -2 & 0 & -6 & 0 :
Linha 2 = Linha 2 + Linha 1 Rightarrow 0 & 7 & 0 & 2
Primeiro, vamos somar a primeira linha à segunda linha para eliminar o -1 na posição A = 1 & 2 & 3 & 4 0 & 7 & 0 & 2 2 & 0 & 6 & 1 -2 & 0 & -6 & 0 :
Agora, nossa matriz fica:

Passo 4

Em seguida, vamos eliminar os elementos abaixo da primeira posição da primeira coluna. Para a terceira linha, subtraímos 2 vezes a primeira linha:
Linha 3 = Linha 3 - 2 times Linha 1 Rightarrow 0 & -4 & 0 & -7
Para a quarta linha, somamos 2 vezes a primeira linha:
Linha 4 = Linha 4 + 2 times Linha 1 Rightarrow 0 & 4 & 0 & 8
Agora, a matriz fica:
A = 1 & 2 & 3 & 4 0 & 7 & 0 & 2 0 & -4 & 0 & -7 0 & 4 & 0 & 8

Passo 5

Observamos que as colunas 1 e 3 têm elementos em posições similares, o que pode indicar dependência linear. Vamos continuar simplificando. Vamos dividir a segunda linha por 7 para facilitar:
Linha 2 = 17 times Linha 2 Rightarrow 0 & 1 & 0 & 27
Agora, a matriz é:
A = 1 & 2 & 3 & 4 0 & 1 & 0 & 27 0 & -4 & 0 & -7 0 & 4 & 0 & 8

Passo 6

Vamos eliminar os elementos abaixo e acima do 1 na posição Linha 3 = Linha 3 + 4 times Linha 2 Rightarrow 0 & 0 & 0 & -537 . Multiplicamos a segunda linha por 4 e somamos à terceira linha:
Linha 4 = Linha 4 - 4 times Linha 2 Rightarrow 0 & 0 & 0 & 467
E subtraímos 4 vezes a segunda linha da quarta linha:
A = 1 & 2 & 3 & 4 0 & 1 & 0 & 27 0 & 0 & 0 & -537 0 & 0 & 0 & 467
Agora, a matriz fica:

Passo 7

Percebemos que as últimas duas linhas têm apenas um elemento não nulo na quarta coluna, mas esses elementos não são múltiplos entre si. Isso indica que há uma dependência linear entre as linhas, o que faz com que o determinante da matriz seja zero.

Resposta

Falso. O determinante de é igual a zero, portanto é falso.

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