Determinar o valor de k para que os seguintes vetores sejam coplanares: e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o valor de que faz com que os vetores , e sejam coplanares. Isso envolve um pouco de álgebra vetorial, mais especificamente o conceito de produto misto ou produto escalar triplo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa vetores serem coplanares. Três vetores são coplanares se estiverem no mesmo plano, ou seja, se o volume do paralelepípedo formado por eles for zero. Matemáticamente, isso é representado pelo produto misto dos vetores igual a zero:
Passo 3
Vamos calcular o produto vetorial . O produto vetorial de dois vetores e é dado por:
Aplicando isso aos vetores e :
Calculando o determinante:
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto escalar entre u cdot v = u1v1 + u2v2 + u3v3 e a cdot (b times c) = 2(-k + 3) + 1(-2k) + 0(1 - k) = -2k + 6 - 2k + 0 = -4k + 6 . O produto escalar de dois vetores e é:
Aplicando isso aos vetores e :
Passo 5
Para que os vetores sejam coplanares, o produto escalar triplo deve ser zero:
-4k + 6 = 0
Vamos resolver essa equação para encontrar -4k + 6 = 0 -4k = -6 k = 64 k = 1,5 :