Determinar o valor de k para que os seguintes vetores sejam coplanares:
a=(2,1,0), b=(1,1,-3) e c=(k, 1,-k)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o valor de que faz com que os vetores , e sejam coplanares. Isso envolve um pouco de álgebra vetorial, mais especificamente o conceito de produto misto ou produto escalar triplo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa vetores serem coplanares. Três vetores são coplanares se estiverem no mesmo plano, ou seja, se o volume do paralelepípedo formado por eles for zero. Matemáticamente, isso é representado pelo produto misto dos vetores igual a zero:
a cdot (b times c) = 0

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial u times v = (u2v3 - u3v2, , u3v1 - u1v3, , u1v2 - u2v1) . O produto vetorial de dois vetores b times c = i & j & k 1 & 1 & -3 k & 1 & -k e b times c = (1 cdot (-k) - (-3) cdot 1, , -(1 cdot (-k) - (-3) cdot k), , 1 cdot 1 - 1 cdot k ) = (-k + 3, , k - 3k, , 1 - k) = (-k + 3, , -2k, , 1 - k) é dado por:
Aplicando isso aos vetores e :
Calculando o determinante:

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar entre u cdot v = u1v1 + u2v2 + u3v3 e a cdot (b times c) = 2(-k + 3) + 1(-2k) + 0(1 - k) = -2k + 6 - 2k + 0 = -4k + 6 . O produto escalar de dois vetores e é:
Aplicando isso aos vetores e :

Passo 5

Para que os vetores sejam coplanares, o produto escalar triplo deve ser zero:
-4k + 6 = 0
Vamos resolver essa equação para encontrar -4k + 6 = 0 -4k = -6 k = 64 k = 1,5 :

Resposta

O valor de que torna os vetores coplanares é .

Exercícios relacionados