Calcule as projeçõe ortogonais dos vetores e no subespaço do .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular as projeções ortogonais dos vetores e no subespaço que é gerado pelos vetores e . Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente projeção de vetores em subespaços. Vamos precisar montar uma base para e usar a fórmula de projeção.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar que e são linearmente independentes, ou seja, formam uma base para . Para isso, montamos a matriz com essas colunas e verificamos seu determinante:
Como as duas colunas não são múltiplas uma da outra, elas são linearmente independentes. Então, é uma base para .

Passo 3

Agora, vamos dizer que queremos projetar um vetor em . A projeção pode ser escrita como uma combinação linear das bases:
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes e .

Passo 4

Para encontrar e , usamos a condição de que o vetor é ortogonal a todo vetor em . Isso leva ao sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para cada vetor e .

Passo 5

Primeiro, vamos projetar . Montamos as equações:
Calculando os produtos escalares:
Simplificando:
Ou seja:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Da segunda equação:

Passo 6

Então, a projeção de em é:
Calculando:
Interessante, neste caso, a projeção é igual ao próprio vetor!

Passo 7

Agora, vamos projetar . Repetimos o processo:
Montamos as equações:
Calculando os produtos escalares:
Simplificando:
Ou seja:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Da segunda equação:

Resposta

As projeções ortogonais dos vetores sobre o subespaço são:
Calculando:
Portanto, as projeções são:

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