Calcule as projeçõe ortogonais dos vetores e no subespaço do .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular as projeções ortogonais dos vetores e no subespaço que é gerado pelos vetores e . Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente projeção de vetores em subespaços. Vamos precisar montar uma base para e usar a fórmula de projeção.
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar que e são linearmente independentes, ou seja, formam uma base para . Para isso, montamos a matriz com essas colunas e verificamos seu determinante:
Como as duas colunas não são múltiplas uma da outra, elas são linearmente independentes. Então, u1, u2 é uma base para E.
Passo 3
Agora, vamos dizer que queremos projetar um vetor v em E. A projeção projE(v) pode ser escrita como uma combinação linear das bases:
projE(v) = au1 + bu2
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes a e b.
Passo 4
Para encontrar a e b, usamos a condição de que o vetor v - projE(v) é ortogonal a todo vetor em E. Isso leva ao sistema de equações:
u1 cdot (v - au1 - bu2) = 0 u2 cdot (v - au1 - bu2) = 0
Vamos resolver esse sistema para cada vetor v1 e v2.
Passo 5
Primeiro, vamos projetar v1 = (1,0,0,0). Montamos as equações: