Calcule as projeçõe ortogonais dos vetores (1,0,0,0) e (-1,2,0,1) no subespaço E=a(2,1,0,1)+b(-1,1,0,1) ; a, b in R do R^4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular as projeções ortogonais dos vetores v1 = (1,0,0,0) e v2 = (-1,2,0,1) no subespaço E que é gerado pelos vetores u1 = (2,1,0,1) e u2 = (-1,1,0,1). Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente projeção de vetores em subespaços. Vamos precisar montar uma base para E e usar a fórmula de projeção.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar que u1 e u2 são linearmente independentes, ou seja, formam uma base para E. Para isso, montamos a matriz com essas colunas e verificamos seu determinante:
2 & -1 1 & 1 0 & 0 1 & 1
Como as duas colunas não são múltiplas uma da outra, elas são linearmente independentes. Então, u1, u2 é uma base para E.

Passo 3

Agora, vamos dizer que queremos projetar um vetor v em E. A projeção projE(v) pode ser escrita como uma combinação linear das bases:
projE(v) = au1 + bu2
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes a e b.

Passo 4

Para encontrar a e b, usamos a condição de que o vetor v - projE(v) é ortogonal a todo vetor em E. Isso leva ao sistema de equações:
u1 cdot (v - au1 - bu2) = 0 u2 cdot (v - au1 - bu2) = 0
Vamos resolver esse sistema para cada vetor v1 e v2.

Passo 5

Primeiro, vamos projetar v1 = (1,0,0,0). Montamos as equações:
u1 cdot (v1 - au1 - bu2) = 0 u2 cdot (v1 - au1 - bu2) = 0
Calculando os produtos escalares:
(2)(1) + (1)(0) + (0)(0) + (1)(0) - a(2^2 + 1^2 + 0^2 + 1^2) - b(2(-1) + 1(1) + 0(0) + 1(1)) = 0 (-1)(1) + (1)(0) + (0)(0) + (1)(0) - a(-1(2) + 1(1) + 0(0) + 1(1)) - b((-1)^2 + 1^2 + 0^2 + 1^2) = 0
Simplificando:
2 - a(4 + 1 + 0 + 1) - b(-2 + 1 + 0 + 1) = 0 -1 - a(-2 + 1 + 0 + 1) - b(1 + 1 + 0 + 1) = 0
Ou seja:
2 - 6a + 0b = 0 -1 + 0a - 3b = 0
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: 2 - 6a = 0 Rightarrow a = 13
Da segunda equação: -1 - 3b = 0 Rightarrow b = -13

Passo 6

Então, a projeção de v1 em E é:
projE(v1) = 13u1 - 13u2 = 13(2,1,0,1) - 13(-1,1,0,1)
Calculando:
projE(v1) = (23 + 13, 13 - 13, 0, 13 - 13) = (1, 0, 0, 0)
Interessante, neste caso, a projeção é igual ao próprio vetor!

Passo 7

Agora, vamos projetar v2 = (-1,2,0,1). Repetimos o processo:
Montamos as equações:
u1 cdot (v2 - au1 - bu2) = 0 u2 cdot (v2 - au1 - bu2) = 0
Calculando os produtos escalares:
2(-1) + 1(2) + 0(0) + 1(1) - a(4 + 1 + 0 + 1) - b(-2 + 1 + 0 + 1) = 0 -1(-1) + 1(2) + 0(0) + 1(1) - a(-2 + 1 + 0 + 1) - b(1 + 1 + 0 + 1) = 0
Simplificando:
-2 + 2 + 1 - 6a + 0b = 0 1 + 2 + 1 - 0a - 3b = 0
Ou seja:
1 - 6a = 0 4 - 3b = 0
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: 1 - 6a = 0 Rightarrow a = 16
Da segunda equação: 4 - 3b = 0 Rightarrow b = 43

Resposta

As projeções ortogonais dos vetores sobre o subespaço E são:
projE(v1) = (1, 0, 0, 0)
projE(v2) = 16u1 + 43u2 = (16 times 2 + 43 times (-1), 16 times 1 + 43 times 1, 16 times 0 + 43 times 0, 16 times 1 + 43 times 1)
Calculando:
projE(v2) = (26 - 43, 16 + 43, 0, 16 + 43) = (-106, 96, 0, 96) = (-53, 32, 0, 32)
Portanto, as projeções são:
projE(v1) = (1, 0, 0, 0)
projE(v2) = (-53, 32, 0, 32)

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