Seja
. Determine se a série
é convergente.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida por
e precisamos descobrir se a série
converge, ou seja, se a soma infinita desses termos dá um valor finito. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de séries infinitas e testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão de
. Observando a fração
, podemos dividir o numerador e o denominador por
para facilitar a análise:
Quando
tende ao infinito,
tende a zero, então:
Passo 3
Agora, vamos lembrar de um teste importante para séries: o teste da divergência. Ele diz que se o limite do termo geral
quando
tende ao infinito não for zero, a série
não converge.
Passo 4
Aplicando o teste da divergência à nossa série, vimos que:
Passo 5
Como o limite de
é diferente de zero, de acordo com o teste da divergência, a série
não converge.
Resposta
A série
não é convergente.