Seja . Determine se a série é convergente.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida por e precisamos descobrir se a série converge, ou seja, se a soma infinita desses termos dá um valor finito. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de séries infinitas e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão de . Observando a fração , podemos dividir o numerador e o denominador por para facilitar a análise:
Quando tende ao infinito, tende a zero, então:

Passo 3

Agora, vamos lembrar de um teste importante para séries: o teste da divergência. Ele diz que se o limite do termo geral quando tende ao infinito não for zero, a série não converge.

Passo 4

Aplicando o teste da divergência à nossa série, vimos que:

Passo 5

Como o limite de é diferente de zero, de acordo com o teste da divergência, a série não converge.

Resposta

A série não é convergente.

Exercícios relacionados

Seja uma base para o espaço vetorial das matrizes reais simétrica . Encontre as coordenadas da matriz em relação à base , onde:
(a)
Deduza o termo geral e escreva usando a notação de série:
As seguintes séries são geométricas. Determine se são ou não são convergentes. Se for convergente, determine o seu valor.
Calcule as projeçõe ortogonais dos vetores e no subespaço do .