Seja an=2 n1+3 n. Determine se a série sumn=1^+infty an é convergente.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida por e precisamos descobrir se a série converge, ou seja, se a soma infinita desses termos dá um valor finito. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de séries infinitas e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão de an = 2n1 + 3n = 21n + 3 . Observando a fração limn to +infty an = 20 + 3 = 23 , podemos dividir o numerador e o denominador por para facilitar a análise:
Quando tende ao infinito, tende a zero, então:

Passo 3

Agora, vamos lembrar de um teste importante para séries: o teste da divergência. Ele diz que se o limite do termo geral quando tende ao infinito não for zero, a série não converge.

Passo 4

Aplicando o teste da divergência à nossa série, vimos que:
limn to +infty an = 23 neq 0

Passo 5

Como o limite de é diferente de zero, de acordo com o teste da divergência, a série não converge.

Resposta

A série não é convergente.

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