Dê um exemplo de uma transformação linear diagonalizável com polinômio característico .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente dar um exemplo de uma transformação linear que é diagonalizável e que tem como polinômio característico . Basicamente, vamos precisar entender o que é uma transformação linear diagonalizável, como identificar seus autovalores usando o polinômio característico, e como construir uma matriz que satisfaça essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o polinômio característico. O pode ser fatorado da seguinte forma:
Isso nos mostra que os autovalores são e , com multiplicidades algébricas 1 e 2, respectivamente.

Passo 3

Para que uma transformação linear seja diagonalizável, a multiplicidade geométrica de cada autovalor (ou seja, o número de vetores próprios associados) deve ser igual à sua multiplicidade algébrica. No nosso caso:
  • Para , a multiplicidade algébrica é 1.
  • Para , a multiplicidade algébrica é 2.
Isso significa que precisamos de uma base de vetores próprios que inclua um vetor próprio para e dois vetores próprios para .

Passo 4

A maneira mais fácil de garantir isso é escolher uma matriz diagonal, já que matrizes diagonais são sempre diagonalizáveis, e os elementos da diagonal são justamente os seus autovalores. Como nosso polinômio característico tem grau 3, vamos construir uma matriz 3x3.

Passo 5

Vamos construir a matriz com os autovalores na diagonal:
Aqui:
  • O primeiro elemento da diagonal é 1, correspondendo ao autovalor .
  • Os outros dois elementos da diagonal são -1, correspondendo ao autovalor com multiplicidade 2.

Passo 6

Verificando o polinômio característico de :
Isso confirma que tem exatamente o polinômio característico que o enunciado pediu.

Resposta

Um exemplo de matriz diagonalizável com o polinômio característico é:

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