Dê um exemplo de uma transformação linear diagonalizável com polinômio característico .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente dar um exemplo de uma transformação linear que é diagonalizável e que tem como polinômio característico. Basicamente, vamos precisar entender o que é uma transformação linear diagonalizável, como identificar seus autovalores usando o polinômio característico, e como construir uma matriz que satisfaça essas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o polinômio característico. O pode ser fatorado da seguinte forma:
Isso nos mostra que os autovalores são e , com multiplicidades algébricas 1 e 2, respectivamente.
Passo 3
Para que uma transformação linear seja diagonalizável, a multiplicidade geométrica de cada autovalor (ou seja, o número de vetores próprios associados) deve ser igual à sua multiplicidade algébrica. No nosso caso:
Para , a multiplicidade algébrica é 1.
Para , a multiplicidade algébrica é 2.
Isso significa que precisamos de uma base de vetores próprios que inclua um vetor próprio para e dois vetores próprios para .
Passo 4
A maneira mais fácil de garantir isso é escolher uma matriz diagonal, já que matrizes diagonais são sempre diagonalizáveis, e os elementos da diagonal são justamente os seus autovalores. Como nosso polinômio característico tem grau 3, vamos construir uma matriz 3x3.
Passo 5
Vamos construir a matriz com os autovalores na diagonal:
Aqui:
O primeiro elemento da diagonal é 1, correspondendo ao autovalor .
Os outros dois elementos da diagonal são -1, correspondendo ao autovalor com multiplicidade 2.
Passo 6
Verificando o polinômio característico de :
Isso confirma que tem exatamente o polinômio característico que o enunciado pediu.
Resposta
Um exemplo de matriz diagonalizável com o polinômio característico é: