Calcule as projeções ortogonais projv u onde:
u=(2,-1,5) e v=(1,1,3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para calcular a projeção ortogonal do vetor u = (2, -1, 5) sobre o vetor v = (1, 1, 3). Isso faz parte da matéria de Álgebra Vetorial, especificamente no estudo de projeções de vetores. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da projeção ortogonal, que envolve produtos internos (ou produto escalar) entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para a projeção de u sobre v, que é dada por:
projv u = ( u cdot vv cdot v ) v
Aqui, u cdot v é o produto escalar entre u e v, e v cdot v é o produto escalar de v consigo mesmo.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar u cdot v.
u cdot v = (2)(1) + (-1)(1) + (5)(3) = 2 - 1 + 15 = 16

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar v cdot v.
v cdot v = (1)(1) + (1)(1) + (3)(3) = 1 + 1 + 9 = 11

Passo 5

Com esses valores, podemos substituir na fórmula da proje��ão:
projv u = ( 1611 ) v

Passo 6

Agora, multiplicamos o escalar 1611 pelo vetor v:
projv u = 1611 cdot (1, 1, 3) = ( 1611, 1611, 4811 )

Resposta

A projeção ortogonal de u sobre v é:
projv u = ( 1611, 1611, 4811 )

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