Considere um cubo gerado pelos vetores i=(1,0,0), j=(0,1,0) e k=(0,0,1).
(b) Determine o ângulo theta1 formado pela aresta j e a aresta k. Os vetores j e k são ortogonais? Justifique a sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar o ângulo theta1 entre as arestas representadas pelos vetores j e k de um cubo. Além disso, devemos verificar se esses vetores são ortogonais. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria vetorial, especificamente o produto escalar entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é produto escalar. O produto escalar entre dois vetores a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3) é calculado pela fórmula:
a cdot b = a1b1 + a2b2 + a3b3
Esse produto também pode ser relacionado ao ângulo entre os vetores pela fórmula:
a cdot b = |a| cdot |b| cdot cos(theta)
Onde:
  • |a| e |b| são os módulos (comprimentos) dos vetores.
  • theta é o ângulo entre eles.

Passo 3

Vamos aplicar isso aos nossos vetores j = (0,1,0) e k = (0,0,1). Primeiro, calculamos o produto escalar:
j cdot k = (0)(0) + (1)(0) + (0)(1) = 0

Passo 4

Agora, calculamos os módulos dos vetores:
|j| = raiz0^2 + 1^2 + 0^2 = 1
|k| = raiz0^2 + 0^2 + 1^2 = 1

Passo 5

Substituindo na fórmula do produto escalar em termos do ângulo:
0 = 1 cdot 1 cdot cos(theta1)
Simplificando:
cos(theta1) = 0

Passo 6

Sabemos que cos(theta) = 0 quando o ângulo theta é 90^circ. Portanto:
theta1 = 90^circ

Resposta

O ângulo theta1 formado pelas arestas j e k é de 90^circ. Além disso, como o produto escalar deles é zero, isso confirma que os vetores j e k são ortogonais.

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