Considere um cubo gerado pelos vetores
e
.
(b) Determine o ângulo
formado pela aresta
e a aresta
. Os vetores
e
são ortogonais? Justifique a sua resposta.
(b) Determine o ângulo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar o ângulo
entre as arestas representadas pelos vetores
e
de um cubo. Além disso, devemos verificar se esses vetores são ortogonais. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria vetorial, especificamente o produto escalar entre vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é produto escalar. O produto escalar entre dois vetores
e
é calculado pela fórmula:
Esse produto também pode ser relacionado ao ângulo entre os vetores pela fórmula:
Onde:
-
e são os módulos (comprimentos) dos vetores. -
é o ângulo entre eles.
Passo 3
Vamos aplicar isso aos nossos vetores
e
. Primeiro, calculamos o produto escalar:
Passo 4
Agora, calculamos os módulos dos vetores:
Passo 5
Substituindo na fórmula do produto escalar em termos do ângulo:
Simplificando:
Passo 6
Sabemos que
quando o ângulo
é
. Portanto:
Resposta
O ângulo
formado pelas arestas
e
é de
. Além disso, como o produto escalar deles é zero, isso confirma que os vetores
e
são ortogonais.