Seja
. Verifique quais dos subconjuntos abaixo são subespaços de
.
.
Passo 1
Neste exercício, estamos lidando com o espaço vetorial
, que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo
com coeficientes reais. Queremos verificar se o subconjunto
é um subespaço de
. Para isso, precisamos checar três condições fundamentais dos subespaços: se
contém o vetor zero, se é fechado para adição e se é fechado para multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
contém o vetor zero. No espaço dos polinômios, o vetor zero é o polinômio
para todo
. Avaliando em
, temos:
Como
, o polinômio zero pertence a
. Portanto,
não está vazio e contém o vetor zero.
Passo 3
Agora, vamos ver se
é fechado para adição. Seja
e
dois polinômios em
. Isso significa que:
Consideremos a soma desses polinômios:
Avaliando em
:
Portanto,
também pertence a
, mostrando que
é fechado para adição.
Passo 4
Por fim, vamos verificar se
é fechado para multiplicação por escalar. Seja
e
um escalar real. Então:
Multiplicando o polinômio por
:
Avaliando em
:
Assim,
também pertence a
, confirmando que
é fechado para multiplicação por escalar.
Resposta
O conjunto
é um subespaço de
.