Seja V=Pn(R), n >= 2. Verifique quais dos subconjuntos abaixo são subespaços de V.
W=p(x) in V: p(0)=0.

Passo 1

Neste exercício, estamos lidando com o espaço vetorial , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo com coeficientes reais. Queremos verificar se o subconjunto é um subespaço de . Para isso, precisamos checar três condições fundamentais dos subespaços: se contém o vetor zero, se é fechado para adição e se é fechado para multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se p(0) = 0 contém o vetor zero. No espaço dos polinômios, o vetor zero é o polinômio para todo . Avaliando em , temos:
Como , o polinômio zero pertence a . Portanto, não está vazio e contém o vetor zero.

Passo 3

Agora, vamos ver se p(0) = 0 e q(0) = 0 é fechado para adição. Seja (p + q)(x) = p(x) + q(x) e (p + q)(0) = p(0) + q(0) = 0 + 0 = 0 dois polinômios em . Isso significa que:
Consideremos a soma desses polinômios:
Avaliando em :
Portanto, também pertence a , mostrando que é fechado para adição.

Passo 4

Por fim, vamos verificar se p(0) = 0 é fechado para multiplicação por escalar. Seja (c cdot p)(x) = c cdot p(x) e (c cdot p)(0) = c cdot p(0) = c cdot 0 = 0 um escalar real. Então:
Multiplicando o polinômio por :
Avaliando em :
Assim, também pertence a , confirmando que é fechado para multiplicação por escalar.

Resposta

O conjunto é um subespaço de .

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