Calcule a quantidade de inversões das permutações abaixo:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a quantidade de inversões na permutação
. O conteúdo envolve permutação e inversões, que são conceitos de combinatória. Para isso, vamos precisar entender o que é uma inversão em uma permutação e, depois, contar quantas existem nessa sequência específica.
Passo 2
Primeiro, vamos esclarecer o que é uma permutação. Uma permutação é uma disposição ordenada de todos os elementos de um conjunto. No nosso caso, temos a sequência [4, 3, 2, 1], que é uma permutação dos números 1, 2, 3 e 4.
Passo 3
Agora, vamos entender o que é uma inversão em uma permutação. Uma inversão ocorre quando, em uma permutação, um número maior aparece antes de um número menor. Formalmente, em uma permutação
de
elementos, uma inversão é um par
tal que
e
.
Passo 4
Vamos aplicar isso à nossa permutação [4, 3, 2, 1]. Precisamos identificar todos os pares de posições onde um número maior está antes de um menor. Vamos verificar cada elemento comparando com os seguintes:
-
4:
- Compare com 3:
→ Inversão. - Compare com 2:
→ Inversão. - Compare com 1:
→ Inversão.
- Compare com 3:
-
3:
- Compare com 2:
→ Inversão. - Compare com 1:
→ Inversão.
- Compare com 2:
-
2:
- Compare com 1:
→ Inversão.
- Compare com 1:
-
1:
- Não há elementos após 1 para comparar.
Passo 5
Agora, vamos contar todas as inversões identificadas:
- De 4: 3 inversões.
- De 3: 2 inversões.
- De 2: 1 inversão.
- De 1: 0 inversões.
Total de inversões:
.
Resposta
A quantidade de inversões na permutação
é 6.
Exercícios relacionados
Considere a transformação linear
tal que
Encontre uma transformação linear
tal que
.
Mostre que
é ortogonal a
se e somente se
. Interprete geometricamente.
Ex. 6. Simplifique as expressões algébricas abaixo:
(h) ;
(h)
Seja
a transformação linear definida por
Esta transformação linear é sobrejetora? Justifique sua resposta.