Mostre que u+v é ortogonal a u-v se e somente se |u|=|v|. Interprete geometricamente.

Passo 1

Vamos resolver o problema de verificar quando os vetores u + v e u - v são ortogonais. Para isso, vamos usar o conceito de produto escalar de vetores. Precisaremos também entender a norma (ou comprimento) de um vetor.

Passo 2

Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. Portanto, precisamos calcular o produto escalar de u + v e u - v e igualar a zero:
(u + v) cdot (u - v) = 0

Passo 3

Vamos expandir o produto escalar usando a distributiva:
(u + v) cdot (u - v) = u cdot u - u cdot v + v cdot u - v cdot v

Passo 4

Sabemos que o produto escalar é comutativo, ou seja, u cdot v = v cdot u. Assim, simplificamos a expressão:
u cdot u - v cdot v = 0

Passo 5

A norma de um vetor u é |u| = raizu cdot u. Portanto, u cdot u = |u|^2 e v cdot v = |v|^2. Substituindo na equação:
|u|^2 - |v|^2 = 0

Passo 6

Resolvendo para as normas:
|u|^2 = |v|^2
|u| = |v|

Resposta

Portanto, os vetores u + v e u - v são ortogonais se e somente se |u| = |v|. Geometricamente, isso significa que a soma e a diferença dos vetores têm direções perpendiculares quando os vetores originais têm o mesmo comprimento.

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