Mostre que
é ortogonal a
se e somente se
. Interprete geometricamente.
Passo 1
Vamos resolver o problema de verificar quando os vetores
e
são ortogonais. Para isso, vamos usar o conceito de produto escalar de vetores. Precisaremos também entender a norma (ou comprimento) de um vetor.
Passo 2
Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. Portanto, precisamos calcular o produto escalar de
e
e igualar a zero:
Passo 3
Vamos expandir o produto escalar usando a distributiva:
Passo 4
Sabemos que o produto escalar é comutativo, ou seja,
. Assim, simplificamos a expressão:
Passo 5
A norma de um vetor
é
. Portanto,
e
. Substituindo na equação:
Passo 6
Resolvendo para as normas:
Resposta
Portanto, os vetores
e
são ortogonais se e somente se
. Geometricamente, isso significa que a soma e a diferença dos vetores têm direções perpendiculares quando os vetores originais têm o mesmo comprimento.
Exercícios relacionados
Ex. 6. Simplifique as expressões algébricas abaixo:
(b)
(b)
Seja
uma transformação linear.
(a) Suponha que é LI, mas
é LD. Mostre que
tem uma solução não-trivial.
(b) Considere a seguinte afirmação sobre : se
é LI então
é LI. Qual a hipótese necessária para que essa afirmação seja verdadeira? Justifique.
(a) Suponha que
(b) Considere a seguinte afirmação sobre
Considere a transformação linear
tal que
Encontre uma transformação linear
tal que
.
Calcule a quantidade de inversões das permutações abaixo:
(a)
(a)